结论：老员工要求公司正视自身用工责任，通常意味着老员工认为公司在口头辞退他的过程中，可能存在违反劳动法律法规的行为，公司应当承担相应的法律责任。
详细解释与分析：
口头辞退的合法性：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位解除劳动合同应当遵循法定程序，并通常需要以书面形式通知劳动者。口头辞退往往缺乏明确的证据支持，且可能不符合法定程序，因此其合法性可能受到质疑。
- 如果公司确实存在口头辞退的行为，且没有合法依据或未遵循法定程序，那么这种辞退行为可能被视为违法解除劳动合同。
老员工要求公司正视用工责任的含义：
- 老员工可能认为，公司在辞退他的过程中，没有充分考虑到他的权益，如未支付经济补偿金、未提前通知等，违反了劳动法律法规的规定。
- 他要求公司正视用工责任，即要求公司承认并纠正其违法行为，承担相应的法律责任，如支付经济补偿金、赔偿金等。
公司可能面临的法律责任：
- 如果公司的口头辞退行为被认定为违法解除劳动合同，那么根据《劳动合同法》的规定，公司可能需要支付经济补偿金或赔偿金给老员工。
- 经济补偿金的标准通常根据劳动者在本单位的工作年限和月工资来确定。赔偿金则可能包括因违法解除劳动合同而给劳动者造成的损失等。
老员工的维权途径：
- 老员工可以通过与公司协商、申请劳动仲裁或提起诉讼等方式来维护自己的权益。
- 在申请劳动仲裁或提起诉讼时，老员工需要提供相关证据来证明公司的违法行为，如口头辞退的录音、证人证言等。
建议与行动：
对于老员工：
- 如果你认为公司存在违法辞退的行为，建议尽快收集相关证据，如口头辞退的录音、工作记录、工资单等，以证明公司的违法行为。
- 你可以先尝试与公司协商，要求公司承认并纠正其违法行为，承担相应的法律责任。如果协商无果，你可以向当地劳动仲裁机构申请劳动仲裁，或者向人民法院提起诉讼。
对于公司：
- 如果公司确实存在口头辞退老员工的行为，且没有合法依据或未遵循法定程序，建议公司尽快与老员工协商解决此事，避免法律纠纷的进一步升级。
- 公司应当加强内部管理，规范用工行为，确保在解除劳动合同时遵循法定程序，并保留相关证据以备不时之需。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。