结论：在公司连续工作10年后，您有权根据法律规定要求签订无固定期限劳动合同，当然，如果您和公司协商一致，也可以选择续签固定期限劳动合同。

一、法律依据与劳动者选择权

1. 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，劳动者在用人单位连续工作满十年的，提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者明确提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。这一条款为您在公司工作10年后要求签订无固定期限劳动合同提供了明确的法律依据。

2. 劳动者选择：

   • 无固定期限劳动合同：您有权选择签订无确定终止时间的劳动合同，这为您提供了更稳定的职业保障，减少了失业风险。
   • 固定期限劳动合同：如果您希望继续签订固定期限劳动合同，也是可以的，只要您与公司协商一致即可。

二、用人单位的义务与后果

1. 用人单位义务：当您符合签订无固定期限劳动合同的条件并提出要求时，公司应当满足，无需公司同意。这是公司的法定义务，必须履行。

2. 拒绝续签的后果：

   • 二倍工资：如果公司拒绝与您订立无固定期限劳动合同，根据《劳动合同法》第八十二条的规定，公司需自应当订立之日起向您每月支付二倍的工资。
   • 赔偿金：此行为还可能构成违法解除劳动合同，您可要求公司支付赔偿金。赔偿金的计算标准为经济补偿标准的二倍，按您在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付。

三、续签合同的流程与注意事项

1. 沟通协商：在劳动合同期满前，您应与公司就劳动合同的续签进行充分的沟通和协商，确定新的劳动合同条款。这有助于双方明确各自的权利和义务，避免后续纠纷。

2. 合同签订：如达成一致，应及时签订新的劳动合同，确保双方的权益得到保障。在签订合同时，请务必仔细阅读合同条款，确保合同内容符合您的意愿和法律规定。

3. 拒绝续签的后果（对劳动者而言）：如果您选择不续签合同，且公司未降低原劳动合同条件，则您通常无法获得经济补偿。但如果您因公司降低条件而拒绝续签，则公司应支付经济补偿。

四、经济补偿的相关规定

若劳动合同期满终止，且公司未维持或提高劳动合同约定条件导致您不同意续订的，公司应按照您在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付经济补偿。工作不满六个月的，则支付半个月工资的经济补偿。这一规定为您在公司工作多年后因合同到期而离职提供了一定的经济保障。

五、特殊情况与处理建议

1. 特殊约定：尽管您有权要求签订无固定期限劳动合同，但双方仍可通过协商一致签订固定期限劳动合同或不续签合同。这取决于双方的意愿和实际情况。

2. 沟通建议：在提出续签要求前，建议您了解相关法律法规和自身权益，与公司进行有效沟通。这有助于您更好地维护自己的合法权益，避免不必要的纠纷。

总结与建议：在公司连续工作10年后，您有权根据法律规定要求签订无固定期限劳动合同。公司应遵守相关法律规定，否则将承担相应的法律责任。同时，建议您与公司进行充分沟通，协商处理劳动合同的续签问题，以维护各自的合法权益。如果您在续签过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。