结论：事业单位员工被拘留15天，工作能否保住需视具体情况而定，主要取决于拘留的性质（行政拘留还是刑事拘留）、单位规章制度以及后续处理情况。以下从不同角度进行详细分析：
一、拘留性质的影响
行政拘留：
- 法律性质：行政拘留是公安机关依法对违反行政管理法律、法规的人采取的短期限制人身自由的行政处罚措施，通常针对的是一般的违法行为，如赌博、嫖娼等。
- 对工作的影响：行政拘留本身不构成犯罪，但事业单位员工被行政拘留可能违反单位规章制度或职业道德规范。单位可能根据内部规定，对员工进行警告、记过、降级、撤职或开除等处分。若单位规章制度中明确规定被行政拘留属于严重违反规章制度的行为，且达到开除条件，则员工可能面临被开除的风险。
刑事拘留：
- 法律性质：刑事拘留是公安机关、人民检察院对直接受理的案件，在侦查过程中，遇到法定的紧急情况时，对于现行犯或者重大嫌疑分子所采取的临时剥夺其人身自由的强制措施。刑事拘留可能预示着员工涉嫌犯罪。
- 对工作的影响：若员工最终被法院判决有罪，根据《事业单位工作人员处分暂行规定》等相关法律法规，事业单位可以给予员工开除处分。即使员工最终未被定罪，但刑事拘留期间，单位可能根据内部规定或实际情况，对员工进行停职、调查等处理，甚至可能因影响单位声誉或工作秩序而解除劳动合同。
二、单位规章制度的影响
- 规章制度内容：事业单位通常会有完善的规章制度，明确员工的行为规范和违纪处理办法。员工被拘留是否构成严重违反规章制度，需依据单位具体规定来判断。
- 规章制度制定程序：根据《劳动合同法》等相关法律法规，单位规章制度需经民主程序制定并公示或告知员工，否则可能不具有法律效力。因此，员工在面临处分时，有权要求单位出示相关规章制度并确认其合法性。
三、后续处理情况的影响
- 员工态度与表现：员工在被拘留后，应积极配合单位调查，如实说明情况，并表现出悔改态度。若员工能够积极改正错误，单位可能酌情减轻或免除处分。
- 单位决策与程序：单位在决定对员工进行处分时，需遵循法定程序，如听取员工陈述和申辩、进行调查取证等。若单位未遵循法定程序，员工有权提出异议并寻求法律救济。
四、法律建议
- 了解单位规章制度：员工应仔细阅读单位规章制度，了解被拘留可能面临的处分类型和条件。
- 积极配合调查：若被拘留，员工应积极配合单位调查，如实说明情况，并表现出悔改态度。
- 寻求法律救济：若员工认为单位处分决定违法或不当，可以依法向劳动争议仲裁机构申请仲裁或向人民法院提起诉讼，维护自己的合法权益。
总结：事业单位员工被拘留15天，工作能否保住需综合考虑拘留性质、单位规章制度以及后续处理情况。员工应了解相关法律法规和单位规章制度，积极配合调查，并在必要时寻求法律救济。如有具体法律问题，可直接向我咨询。