行政机关不履行法定职责，确实可以起诉其违法。以下是从不同角度对这一问题的详细分析：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国行政诉讼法》的相关规定，公民、法人或者其他组织认为行政机关和行政机关工作人员的行政行为侵犯其合法权益，有权依照本法向人民法院提起诉讼。这包括行政机关不履行法定职责的情形。
   • 具体来说，如果行政机关在接到公民、法人或其他组织的申请后，未在法定期限内履行其应当履行的法定职责，且没有正当理由，那么该行政机关就构成了不作为违法。

2. 起诉条件：

   • 原告必须是认为行政机关不履行法定职责侵犯其合法权益的公民、法人或其他组织。
   • 必须有明确的被告，即不履行法定职责的行政机关。
   • 必须有具体的诉讼请求和事实根据，即原告需要提供证据证明行政机关确实未履行法定职责，并且这一不履行行为侵犯了其合法权益。
   • 案件必须属于人民法院受案范围和受诉人民法院管辖。

3. 法律后果：

   • 如果法院经审理认为行政机关确实存在不履行法定职责的情形，且该不履行行为违法，那么法院会判决行政机关在一定期限内履行法定职责。
   • 如果行政机关在判决生效后仍不履行，原告可以申请法院强制执行，法院有权采取一系列强制措施来确保判决的执行。

4. 实际操作建议：

   • 在起诉前，建议先尝试与行政机关进行沟通，了解其不履行法定职责的具体原因，并尝试通过协商解决问题。
   • 如果沟通无果，可以收集相关证据，如申请书、行政机关的回复（如果有的话）、相关法律法规等，以证明行政机关的不作为行为。
   • 在起诉时，要确保诉讼请求明确、具体，并提供充分的证据支持自己的主张。

5. 注意事项：

   • 起诉行政机关不履行法定职责需要遵循一定的法律程序和时效规定，因此建议在起诉前咨询专业律师，以确保自己的权益得到充分保障。
   • 在诉讼过程中，要保持冷静、理性，积极配合法院的工作，以维护自己的合法权益。

综上所述，行政机关不履行法定职责确实可以起诉其违法。如果你遇到了类似的问题，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议和帮助。