在承揽合同中，若承揽人意外受伤，责任承担需根据具体情况分析，主要依据《中华人民共和国民法典》的相关规定。以下是对此问题的详细解答：
承揽人自行承担责任的情况：
- 根据《中华人民共和国民法典》第七百七十条，承揽合同是承揽人按照定作人的要求完成工作，交付工作成果，定作人支付报酬的合同。承揽人在完成工作过程中，以自己的设备、技术和劳力独立完成工作，对工作过程拥有较强的自主性和控制权。因此，一般情况下，承揽人在完成工作过程中造成自身损害的，应由其自行承担责任。例如，若甲找个体木工乙制作家具，乙在操作电锯时不慎受伤，通常情况下甲作为定作人无需承担责任。
定作人可能承担责任的情况：
- 如果定作人对定作、指示或选任有过错，导致承揽人受伤的，定作人需要承担相应的赔偿责任。具体来说：
- 定作过失：指定作的任务本身存在不合理的危险或违法性。如定作人要求承揽人完成一项明显超出安全规范的高空作业任务，且该任务未经合法审批，导致承揽人受伤，定作人需承担定作过失的责任。
- 指示过失：即定作人错误地指示承揽人操作方法、步骤等，导致事故发生。例如，在装修过程中，定作人明知某种材料易燃，却指示承揽人在有明火的情况下使用该材料，引发火灾导致承揽人受伤，定作人应对其指示过失负责。
- 选任过失：指定作人在选择承揽人时未尽到合理的审查义务，选择了没有相应资质或不具备安全生产条件的承揽人。如定作人将电梯安装工程交给无资质的个人承揽，承揽人在安装过程中受伤，定作人因选任不当需承担责任。
特殊情况的考量：
- 双方事先约定：如果双方事先对责任承担有明确约定，并且该约定不违反法律法规的强制性规定，那么应按照约定执行。
- 第三方侵权：如因第三人的行为（如其他施工人员的过失行为）导致承揽人受伤，由第三人承担侵权责任。承揽人或定作人可依法向第三人追偿。
- 不可抗力或意外事件：因不可抗力（如自然灾害）或无法预见、无法避免且无法克服的意外事件导致承揽人受伤的，各方当事人可根据公平原则分担损失，但通常不承担法律责任。
赔偿范围和标准：
- 当定作人因其过错导致承揽人受伤而需承担赔偿责任时，赔偿范围和标准可参照《中华人民共和国民法典》第一千一百七十九条和第一千一百八十二条的规定。这些条款明确了侵害他人造成人身损害的赔偿范围，包括但不限于医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。若造成残疾的，还应当赔偿辅助器具费和残疾赔偿金；造成死亡的，还应当赔偿丧葬费和死亡赔偿金。
法律建议与风险防范：
- 明确合同约定：在签订承揽合同时，应明确双方的权利和义务，特别是关于安全保障措施的约定。
- 加强安全管理：承揽人应严格遵守安全操作规程，确保工作环境和设备的安全性。定作人应对承揽人的工作进行必要的监督和检查，及时发现并纠正安全隐患。
- 购买保险：承揽人可以考虑购买意外伤害保险等商业保险，以减轻因受伤带来的经济负担。
总结：承揽人受伤的责任承担问题需要根据具体情况进行综合判定。在一般情况下，承揽人应自行承担风险；但在定作人存在过错的情况下，定作人则需承担相应的赔偿责任。如果你或他人遇到了类似的问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况为你提供详细的法律建议。