针对“本该出具的证据迟迟不出具”这一问题，你可以按照以下步骤来处理：

1. 明确证据出具的责任方：

   • 首先，需要确定是谁有义务出具这份证据。这可能是对方当事人在诉讼中应提供的证据，也可能是某个机构（如医院、政府部门等）应出具的官方文件。明确责任方是后续采取行动的基础。

2. 沟通与催促：

   • 在确认责任方后，尝试与对方进行沟通，了解证据迟迟未出具的具体原因。可能是对方疏忽、内部流程繁琐，或是存在其他障碍。通过友好而坚定的沟通，可以促使对方加快出具证据的速度。
   • 如果沟通无果，可以正式向对方发出书面催促函，明确要求其在一定期限内出具证据，并保留好催促的证据（如邮件、短信、录音等），以备后续使用。

3. 申请法院介入：

   • 如果对方仍然拒绝或拖延出具证据，且该证据对案件的审理至关重要，你可以向法院提出申请，要求法院责令对方出具证据。根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，法院有权要求当事人提供证据，或者对拒不提供证据的当事人进行处罚。
   • 在申请时，需要详细说明证据的重要性、对方拒绝出具的情况，以及你已经采取的沟通与催促措施。

4. 考虑其他法律途径：

   • 如果对方的行为构成妨碍民事诉讼的行为，如伪造、毁灭重要证据，或者以暴力、威胁、贿买方法阻止证人作证等，你可以向法院报告，并请求法院对其采取罚款、拘留等强制措施。
   • 在某些情况下，如果对方的行为涉嫌犯罪（如故意销毁会计凭证、会计账簿等），你还可以向公安机关报案，追究其刑事责任。

5. 准备替代证据或应对策略：

   • 在等待对方出具证据的同时，你也应积极准备替代证据或应对策略。例如，如果对方应出具的证据是某份文件，你可以尝试通过其他途径获取该文件的副本或相关证明；如果对方应提供的证据是某人的证言，你可以寻找其他目击者或专家来提供证言。

法律背景与建议：

• 在处理此类问题时，务必保持冷静和理性，避免采取过激行为。通过合法途径来维护自己的权益是最明智的选择。
• 同时，要注意保留好所有与对方沟通、催促以及申请法院介入的证据，这些证据在后续的诉讼或调解中可能会起到关键作用。
• 如果你对法律程序不熟悉或感到困惑，建议及时咨询专业律师（即我，罗立志律师），我可以为你提供更具体、更专业的法律建议和帮助。

可能法律后果：

• 如果对方最终出具了证据，且该证据对案件的审理产生了重要影响，那么案件可能会按照证据所证明的事实进行裁决。
• 如果对方拒绝出具证据且法院无法获取该证据，法院可能会根据现有证据进行裁决，或者对拒绝出具证据的当事人进行处罚。
• 如果对方的行为构成犯罪，那么除了民事责任外，还可能面临刑事责任的追究。