结论：公司不与员工签订兼职协议，一般情况下公司需要承担相应的法律责任，但具体责任承担需根据实际情况判断。

分析说明：

1. 法律责任基础：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。虽然兼职员工可能不属于全日制用工，但为了明确双方的权利和义务，避免纠纷，公司仍应与兼职员工签订兼职协议或类似书面文件。
   • 若公司未与兼职员工签订书面协议，当双方发生争议时，可能因缺乏书面证据而导致公司承担不利后果。

2. 可能承担的责任：

   • 未签订书面协议的责任：公司可能因未签订书面兼职协议而面临劳动行政部门的处罚，如责令改正、罚款等。同时，在发生劳动争议时，公司可能因无法提供书面证据而承担举证不能的不利后果。
   • 劳动报酬和福利待遇的责任：若兼职员工主张公司未支付或未足额支付劳动报酬、未提供法定福利待遇等，公司需承担相应的支付责任。在缺乏书面协议的情况下，公司可能难以证明已履行相关义务。
   • 工伤赔偿责任：若兼职员工在工作过程中发生工伤，公司需承担相应的工伤赔偿责任。即使未签订书面协议，只要存在事实劳动关系，公司仍需承担这一责任。

3. 特殊情况下的责任承担：

   • 如果兼职员工明确表示不愿意签订书面协议，且公司能够证明已尽到告知义务（如通过邮件、短信等方式通知员工签订协议），则公司可能在一定程度上减轻或免除责任。但这种情况较为特殊，且公司需承担较高的举证责任。
   • 如果兼职员工的工作性质、工作时间等不符合劳动法的规定（如超时工作、未提供必要劳动保护等），公司可能还需承担其他法律责任。

行动建议：

• 公司角度：为了避免潜在的法律风险，公司应与兼职员工签订书面兼职协议，明确双方的权利和义务。协议内容应包括工作性质、工作时间、劳动报酬、福利待遇、保密义务、违约责任等条款。
• 员工角度：如果公司未与您签订兼职协议，您可以与公司沟通协商，要求签订书面协议以保障自己的权益。如果公司拒绝签订或存在其他违法行为，您可以向当地劳动行政部门投诉或寻求法律援助。

后续思考依据：在处理此类问题时，需重点关注双方是否存在事实劳动关系、公司是否尽到告知义务、兼职员工的工作性质和时间等因素。这些因素将直接影响责任承担和法律后果的判断。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。