结论：在公交车上，如果司机因踩刹车导致乘客摔倒，公交公司通常应承担赔偿责任。赔偿项目包括医疗费、误工费、护理费等多项费用，具体数额需根据相关法律法规和实际情况计算。若协商不成，乘客可通过法律途径维护自己的合法权益。
一、赔偿责任主体
公交公司责任：根据《中华人民共和国民法典》第八百二十三条规定，承运人（即公交公司）应对运输过程中旅客的伤亡承担赔偿责任，除非伤亡是旅客自身健康原因造成或承运人能证明伤亡是旅客故意、重大过失造成的。因此，在此类事故中，公交公司通常是赔偿责任的主体。
司机个人责任：在大多数情况下，司机作为公交公司的员工，在执行职务行为时造成乘客损害，由公交公司承担侵权责任。但如果司机存在故意或重大过失行为，公交公司在承担赔偿责任后，有权向司机追偿。
二、赔偿项目及计算方式
医疗费：依据医疗机构出具的医药费、住院费等收款凭证，结合病历和诊断证明等相关证据确定。后续治疗费可待实际发生后另行起诉，但已确定必然发生的费用可与已发生医疗费一并赔偿。
误工费：根据受害人的误工时间和收入状况计算。有固定收入的按实际减少的收入计算；无固定收入的，参照最近三年平均收入或当地相同行业平均工资计算。计算公式为：误工费 = 误工时间 × 每日收入。
护理费：根据护理人员的收入状况和护理人数、期限确定。护理人员有收入的，参照误工费规定计算；无收入或雇佣护工的，参照当地护工劳务报酬标准计算。计算公式为：护理费 = 护理天数 × 每日护理费。
交通费：根据实际发生的费用计算，需提供正式票据并与就医地点、时间等相符合。
住院伙食补助费：参照当地国家机关一般工作人员的出差伙食补助标准确定。
营养费：根据受害人伤残情况并参照医疗机构的意见确定。
残疾赔偿金：如乘客因伤致残，根据丧失劳动能力程度或伤残等级，按照受诉法院所在地上一年度城镇居民人均可支配收入标准计算。计算公式为：残疾赔偿金 = 伤残等级系数 × 上一年度城镇居民人均可支配收入 × 赔偿年限（通常为20年，60周岁以上每增加一岁减少一年）。
精神损害抚慰金：如受害人或死者近亲属遭受精神损害，可请求赔偿精神损害抚慰金，具体数额由法院根据相关规定确定。
三、赔偿流程与注意事项
及时就医并保留证据：受伤后应立即前往医院治疗，并妥善保留公交车车票、医院病历、诊断证明、检查报告、费用发票等相关证据。
报警与联系公交公司：及时报警以便记录事故情况，并联系公交公司告知事故及伤情，要求其协助处理后续事宜。
与公交公司协商：治疗结束后，向公交公司提出赔偿要求，并提交相关证据材料。公交公司会进行调查评估，双方可协商确定赔偿方案。
第三方调解或诉讼：若协商不成，可考虑请求消费者协会、交通运输管理部门等第三方进行调解。如仍无法解决问题，可向有管辖权的人民法院提起民事诉讼，通过法律途径维护合法权益。在整个过程中，保持与公交公司的积极沟通有助于更好地解决问题。
四、特殊情况处理
如果事故涉及其他第三方：如违规车辆或行人等，该第三方也可能需承担责任。公交公司在赔偿乘客后，有权向该第三方追偿。
如果乘客存在过错：如未系安全带、在车厢内走动等，可能会减轻公交公司的赔偿责任。但具体减轻比例需根据实际情况和法院判决确定。
作为朱宁律师，我建议你在遇到此类情况时，首先保留好相关证据，并及时与公交公司沟通协商。如果协商不成，可以通过法律途径维护自己的合法权益。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。