结论：派遣公司无故开除干了十年的派遣员工，该员工有权要求派遣公司承担相应的法律责任，包括但不限于经济补偿、赔偿金等。具体责任和赔偿金额需根据实际情况和法律规定来确定。
分析：
劳动关系与派遣协议：
- 派遣员工与派遣公司之间存在劳动关系，双方应签订书面的劳动合同或派遣协议，明确双方的权利和义务。
- 若派遣公司无故开除员工，即违反了劳动合同或派遣协议的约定，也违反了劳动法律法规的规定。
经济补偿与赔偿金：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位无故解除劳动合同的，应当向劳动者支付经济补偿。经济补偿的标准通常按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。
- 若派遣公司的开除行为构成违法解除劳动合同，员工还有权要求派遣公司支付赔偿金，赔偿金的标准通常是经济补偿的两倍。
- 计算公式：
- 经济补偿：工作年限 × 月工资（月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资）
- 赔偿金：经济补偿 × 2
举证责任与证据收集：
- 在劳动争议中，员工需要承担一定的举证责任，证明派遣公司存在无故开除的行为。
- 因此，员工应尽可能收集与派遣公司之间的劳动合同、派遣协议、工资单、工作记录、开除通知等相关证据，以支持自己的主张。
法律途径与维权建议：
- 若派遣公司拒绝支付经济补偿或赔偿金，员工可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求派遣公司承担相应的法律责任。
- 在申请劳动仲裁前，员工可以尝试与派遣公司进行协商，寻求和解或调解的方式解决争议。
- 若劳动仲裁结果不满意，员工还可以向人民法院提起诉讼，维护自己的合法权益。
特殊情况说明：
- 如果派遣员工与派遣公司之间的劳动合同或派遣协议中有特别约定，如关于开除的条件、经济补偿或赔偿金的支付方式等，应优先按照约定执行。
- 若派遣公司的开除行为涉及违法或犯罪行为，如侮辱、诽谤、暴力等，员工还可以向公安机关报案，追究派遣公司的刑事责任。
建议：
- 鉴于您已经工作了十年，且被无故开除，建议您尽快收集相关证据，并咨询专业律师（即我本人，但胜利律师，专注于劳动仲裁等领域）的意见，以便更好地维护自己的合法权益。
- 在处理此类劳动争议时，保持冷静和理性至关重要。通过合法途径维权，不仅有助于解决当前问题，还能为未来的职业发展创造更好的环境。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。