结论：在医院工作十几年没有编制，仍然可能构成劳动关系，具体需结合实际情况判断。以下从不同角度详细分析：

1. 劳动关系的认定标准

根据《劳动和社会保障部关于确立劳动关系有关事项的通知》（劳社部发〔2005〕12号），劳动关系的认定需满足以下条件：

• 主体资格：用人单位和劳动者需符合法律、法规规定的主体资格（如医院需为合法登记的用人单位，劳动者需年满16周岁且未达到退休年龄）。
• 管理关系：劳动者受用人单位的劳动管理，从事用人单位安排的有报酬的劳动（如遵守医院规章制度、接受考勤管理等）。
• 业务组成：劳动者提供的劳动是用人单位业务的组成部分（如医生、护士的诊疗行为是医院的核心业务）。

关键点：是否签订书面劳动合同、是否有编制，并非认定劳动关系的绝对标准。即使未签合同或无编制，只要实际履行了劳动权利义务，仍可能构成事实劳动关系。

2. 无编制人员的劳动关系认定

• 公立医院无编制人员：
  公立医院中，无编制人员（如合同制员工、临时工）若与医院签订了劳动合同，或虽未签合同但实际接受医院管理、从事医院安排的工作并领取报酬，通常会被认定为劳动关系。
  案例参考：司法实践中，法院常根据实际工作情况（如考勤、工资发放、工作内容等）认定劳动关系，而非仅依据编制身份。

• 私立医院无编制人员：
  私立医院员工无论是否有编制，只要符合劳动关系认定条件，均构成劳动关系。私立医院与员工的关系更侧重于合同约定和实际履行情况。

3. 需注意的例外情形

若存在以下情况，可能不构成劳动关系，而属于劳务关系或其他关系：

• 退休返聘人员：已享受养老保险待遇的退休人员返聘，通常按劳务关系处理。
• 非全日制员工：若每日工作时间不超过4小时、每周不超过24小时，可能按非全日制劳动关系处理（但需签订书面协议）。
• 个人承包经营：若劳动者实际为个人承包经营，与医院是平等主体间的合同关系，而非劳动关系。

4. 法律建议

• 收集证据：若您认为与医院存在劳动关系，建议收集以下证据：
  
  • 工作证、考勤记录、工资条、银行流水；
    
  • 工作安排通知、邮件、微信聊天记录；
    
  • 同事证言、工作服、工作照片等。
• 申请仲裁：若医院否认劳动关系，您可向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求确认劳动关系。仲裁是解决此类纠纷的前置程序。
• 后续权利：确认劳动关系后，您可依法主张未签合同的双倍工资、加班费、经济补偿金、社保补缴等权利。

5. 特殊提示

• 编制与劳动关系的区别：编制是事业单位内部的管理方式，不影响劳动关系的外部认定。即使无编制，只要实际履行劳动义务，仍受《劳动法》《劳动合同法》保护。
• 政策差异：部分地区可能对公立医院无编制人员有特殊规定（如“人事代理”制度），但此类规定通常不影响劳动关系的本质认定。

总结：无编制不影响劳动关系的成立，关键在于实际履行情况。若您在医院工作十几年且符合劳动关系特征，建议尽快收集证据并申请仲裁，以维护自身权益。如有进一步疑问，可直接向我咨询。