结论：针对您街道劳务派遣到期未签合同但已签申请续签同意书的情况，您可以从以下方面着手处理：

1. 明确申请续签同意书的法律效力

   • 申请续签同意书通常可视为双方有续签合同的意向，但并不等同于正式的劳务派遣合同。它表明了您和用工单位（街道）对于继续劳务派遣关系的意愿，但为了保障您的合法权益，仍需尽快签订正式的劳务派遣合同。
   • 正式合同中应明确工作内容、工作地点、工作时间、劳动报酬、社会保险等关键条款，这些是申请续签同意书可能无法全面涵盖的。

2. 与用工单位沟通签订正式合同

   • 您应主动与街道（用工单位）沟通，提出签订正式劳务派遣合同的要求。可以明确告知对方，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳务派遣单位应当与被派遣劳动者订立二年以上的固定期限劳动合同，并明确双方的权利和义务。
   • 在沟通过程中，您可以准备好自己对于合同条款的期望和建议，以便更高效地达成一致。

3. 保留相关证据以备不时之需

   • 在等待签订正式合同的过程中，您应保留好申请续签同意书以及任何与用工单位沟通的记录（如邮件、短信、微信聊天记录等）。这些证据在后续可能发生的劳动争议中将起到关键作用。
   • 如果用工单位在您提出签订正式合同的要求后仍拖延或拒绝，您可以考虑向当地劳动监察部门投诉或寻求法律援助。

4. 关注自身权益的保障

   • 在未签订正式合同期间，您仍应按照原劳务派遣协议或申请续签同意书中的约定履行工作职责，同时关注用工单位是否按时支付劳动报酬、缴纳社会保险等。
   • 如果发现用工单位存在违法行为或侵害您权益的行为，您应及时向相关部门反映并寻求帮助。

额外建议：为了避免未来可能出现的法律风险，我建议您在签订正式劳务派遣合同前，仔细阅读合同条款，确保自己的权益得到充分保障。如果有任何疑问或不确定的地方，可以随时向我咨询，我会为您提供专业的法律意见。