针对您提出的“劳动者申请确认60岁之后存在劳动关系”的问题，这确实是一个涉及劳动法规定及实际操作的复杂议题。以下是我为您提供的详细解答：

一、法律背景与规定

首先，我们需要明确的是，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者开始依法享受基本养老保险待遇的，劳动合同终止。然而，这并不意味着所有超过60岁的劳动者与用人单位之间都不存在劳动关系。关键在于劳动者是否享受了基本养老保险待遇，以及未享受待遇的具体原因。

二、劳动关系认定的关键因素

1. 是否享受基本养老保险待遇：

   • 如果劳动者已经享受了基本养老保险待遇，那么他们与用人单位之间的关系通常会被认定为劳务关系，而非劳动关系。
   • 如果劳动者未享受基本养老保险待遇，且这一状况与用人单位有关（如用人单位未缴纳社保、遗失档案材料等），则劳动者与用人单位之间仍可能构成劳动关系。

2. 实际工作情况：

   • 即使劳动者超过了法定退休年龄，但如果他们继续在原岗位工作，接受用人单位的管理，并遵守用人单位的规章制度，且工资待遇等未发生变化，那么这种关系仍可能被认定为劳动关系。

三、具体案例分析

以您提供的案例为例，董某虽然超过了法定退休年龄，但他在工作期间未享受基本养老保险待遇，且这一状况与用人单位未缴纳社保有关。同时，董某继续在原岗位工作，接受公司的管理，并遵守公司的规章制度。因此，法院最终判决董某与某公司之间存在劳动关系。

四、处理建议

1. 对于劳动者：

   • 如果您认为自己与用人单位之间仍存在劳动关系，且因未享受基本养老保险待遇而面临权益受损的情况，您可以向劳动仲裁机构申请仲裁，或直接向人民法院提起诉讼。
   • 在申请仲裁或提起诉讼前，建议您收集相关证据，如工作证、工资单、考勤记录等，以证明您与用人单位之间的劳动关系。

2. 对于用人单位：

   • 用人单位应严格遵守劳动法规定，为劳动者缴纳社保，确保劳动者在达到法定退休年龄后能够享受基本养老保险待遇。
   • 如果劳动者继续在用人单位工作，用人单位应与劳动者明确用工关系，并签订相应的劳务合同或继续履行原劳动合同（如果符合法律规定）。

五、新规与趋势

值得注意的是，人力资源社会保障部等部门联合出台的《超龄劳动者基本权益保障暂行规定》自2026年7月1日起施行。该规定明确了用人单位与超龄劳动者的权利和义务，保障超龄劳动者的劳动报酬、休息休假、劳动安全卫生、工伤保障等合法权益。这一新规的出台，将进一步规范超龄劳动者的用工关系，保障他们的合法权益。

综上所述，劳动者申请确认60岁之后存在劳动关系的问题，需要根据具体情况进行判断。如果您或您身边的劳动者面临此类问题，建议咨询专业律师或劳动仲裁机构，以获取更具体的法律建议和帮助。