结论前置：外卖送错商家不换货而私自退款的行为，其合法性需根据具体情况来判断，但通常情况下，商家私自退款而不提供换货服务可能构成违约，消费者有权要求商家采取补救措施。
一、商家的法定义务与违约责任
《中华人民共和国民法典》的相关规定：
- 商家与消费者之间形成买卖合同关系，商家有义务按照合同约定提供符合要求的商品。外卖送错属于商家履行合同义务不符合约定，构成违约。
- 消费者有权要求商家采取补救措施，如换货、退货退款等。若商家私自退款而不提供换货服务，可能未完全履行其合同义务，消费者有权进一步主张权益。
《中华人民共和国消费者权益保护法》的明确规定：
- 经营者提供的商品不符合质量要求的，消费者可以依照国家规定或当事人约定退货，或要求经营者履行更换、修理等义务。外卖送错显然属于商品不符合约定的情况，消费者有权要求换货或退货退款。
二、商家私自退款的可能后果
消费者权益受损：
- 如果商家私自退款而不提供换货服务，消费者可能因无法获得符合约定的商品而遭受损失。例如，消费者可能因急需该商品而不得不另行购买，产生额外费用。
商家承担法律责任：
- 商家私自退款而不履行换货义务，可能构成违约，需承担违约责任。消费者有权要求商家赔偿因违约造成的损失，包括但不限于额外购买商品的费用、时间成本等。
三、消费者维权途径
与商家沟通协商：
- 消费者在遇到商家私自退款而不提供换货服务的情况时，可以先与商家进行沟通协商，要求商家履行换货义务或赔偿损失。
向消费者协会或有关行政部门投诉：
- 若协商无果，消费者可以向消费者协会或有关行政部门投诉，寻求帮助和解决方案。这些机构通常会介入调解，促使商家履行其义务。
提起诉讼或仲裁：
- 若投诉未能解决问题，消费者还可以根据与商家达成的仲裁协议提请仲裁机构仲裁，或直接向人民法院提起诉讼，要求商家承担换货、赔偿损失等法律责任。
四、特殊情况下的考量
商家已积极补救：
- 如果商家在发现送错后，已积极与消费者沟通并尝试补救（如提供其他替代商品、给予一定补偿等），但消费者仍坚持要求换货或退货退款，此时需根据具体情况判断商家的责任。
消费者已接受退款：
- 如果消费者已接受商家的私自退款，并明确表示不再要求换货或退货退款，则视为双方已就此事达成和解。但若消费者后续又提出额外要求，可能需根据具体情况和双方约定来判断其合理性。
实际操作建议：作为消费者，在遇到外卖送错且商家私自退款而不提供换货服务的情况时，应保留好相关证据（如订单截图、沟通记录等），以便在维权过程中证明自己的权益。同时，建议消费者在维权过程中保持理性，通过合法途径主张自己的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。