针对您提出的问题，“第一次受伤肩袖损伤不做工伤鉴定，如果后期再受伤还能申请工伤吗”，以下是我的详细解答：

首先，需要明确的是，工伤认定是对劳动者所受伤害是否属于工伤的法定认定程序，它旨在确定劳动者应享有的工伤保险待遇等权益。这一程序并不受您之前是否进行过工伤鉴定或是否承诺放弃工伤认定的影响。

1. 关于第一次受伤未做工伤鉴定：

   • 如果您第一次受伤时未进行工伤鉴定，这并不影响您后续在再次受伤时申请工伤认定的权利。工伤认定是基于每次受伤的具体情况来独立进行的，之前的未鉴定或未认定不会成为后续认定的障碍。

2. 关于后期再受伤申请工伤：

   • 如果您后期再次受伤，且该伤害与工作相关，您完全有权向人社部门申请工伤认定。无论您之前是否进行过工伤鉴定或是否承诺放弃工伤认定，这一权利都是法定的，不会因此丧失。
   • 申请工伤认定时，您需要提供相关的医疗证明、事故报告等材料，以证明您的伤害是在工作过程中发生的，且符合工伤认定的条件。

3. 关于工伤复发的特殊情况：

   • 如果您之前的肩袖损伤在治疗后复发，且该复发与工作相关，您同样可以申请工伤认定。在这种情况下，您可能需要提供医疗证明来证明复发的伤情与之前的工作伤害有关。
   • 自工伤职工劳动能力鉴定结论作出之日起1年后，如果工伤职工、用人单位或社会保险经办机构认为伤残情况发生变化，还可以向设区的市级劳动能力鉴定委员会申请复查鉴定。

4. 关于承诺放弃工伤认定的效力：

   • 即使您之前曾承诺放弃工伤认定，这一承诺并不会剥夺您后续申请工伤认定的法定权利。工伤认定是劳动者的法定权益，不受个人承诺或协议的限制。

综上所述，无论您第一次受伤时是否进行过工伤鉴定或是否承诺放弃工伤认定，如果后期再次受伤且该伤害与工作相关，您都有权向人社部门申请工伤认定。在申请时，请确保提供充分的医疗证明和事故报告等材料，以支持您的申请。