父子断绝书在法律上是无效的，不能解除基于血缘关系的自然血亲父母子女关系，双方法定的权利和义务依然存在。以下从多个角度为你详细分析：

父子关系的法律性质

父子关系是基于子女出生的事实而产生的自然血亲关系，这种关系具有永久性和不可解除性。自然血亲的父母子女关系是一种自然形成的身份关系，它伴随着子女的出生而自动产生，并随着生命的终结而自然消灭，不能通过双方协议或书写断绝书等方式来解除。

法定权利与义务

法律明确规定，父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务，而成年子女则对父母负有赡养、扶助和保护的义务。这些法定的权利和义务是基于血缘关系而产生的，不会因所谓的“断绝关系”而消灭。即使双方签订了“父子关系断绝书”，也不能免除这些法定的责任和义务。例如，子女仍负有赡养年迈且无生活来源的父母的责任，父母也有权要求子女履行这一法定义务。

收养关系的特殊性

与自然血亲关系不同，收养关系中的养父母与成年养子女在关系恶化、无法共同生活时，可以协议解除收养关系。如果收养双方不能达成协议，还可以向人民法院提起诉讼。收养关系依法解除后，养父母与养子女之间的权利义务关系随之消除。但这一规定仅适用于收养关系，不适用于自然血亲的父子关系，后者是不可解除的。

特殊情况下的法律建议

在某些特殊情况下，如父亲或母亲对子女有严重的虐待、遗弃等行为，子女虽然不能通过法律手段断绝父子关系，但可以通过法律途径来保护自己的合法权益。例如，可以报警、寻求法律援助或提起诉讼等。如果双方之间的关系确实存在严重问题，且无法通过沟通或协商解决，建议寻求专业的法律咨询和心理辅导。专业的法律人士可以提供针对性的法律建议，帮助双方找到更好的解决方案；而心理辅导则可以帮助双方处理情感上的困扰，促进关系的改善或和解。

家庭关系的维护与解决途径

家庭关系是需要维护和经营的，遇到家庭矛盾或问题时，应首先尝试通过沟通、协商等和平方式来解决。试图通过签订无效的“断绝书”来逃避责任和义务是不明智的，也是不符合法律规定的。法律鼓励家庭成员之间通过合法途径解决矛盾，维护家庭的和谐与稳定。

综上所述，父子关系断绝书在法律上是无效的，不能解除基于血缘关系的自然血亲父母子女关系。在遇到家庭矛盾或问题时，应寻求合法、有效的解决方式。如果你有任何婚姻家庭或遗产继承方面的法律问题，都可以直接向我咨询，我会为你提供专业、全面的法律建议。