结论：相关部门不答复时，是否可以申请行政复议，需根据具体情况判断，若该不答复行为属于行政机关未履行法定职责，且该职责的履行直接影响到你的合法权益，那么通常可以申请行政复议。以下是对此问题的详细分析：
一、可以申请行政复议的情况
行政机关未履行法定职责：
- 当你向行政机关提出申请，要求其履行保护人身权利、财产权利、受教育权利等合法权益的法定职责时，若行政机关拒绝履行、未依法履行或者不予答复，这种不作为行为可能构成具体行政行为，且侵犯了你的合法权益，因此属于行政复议的受案范围。
- 实例说明：你向某行政机关申请公开某项政府信息，但行政机关在法定期限内未予答复，此行为直接影响你的知情权，故可申请行政复议。
符合行政复议申请条件：
- 申请人必须是认为具体行政行为侵犯其合法权益的公民、法人或其他组织。
- 有明确的被申请人，即作出不答复行为的行政机关。
- 提出具体的复议请求和事实根据，如要求行政机关履行答复职责等。
- 属于受理复议机关的管辖范围。
二、不可以申请行政复议的情况
不属于具体行政行为：
- 若行政机关的不答复行为是基于内部管理、政策指导等非具体行政行为作出的，未直接对行政管理相对人的权利义务产生实际影响，则不属于行政复议的范畴。
- 实例说明：行政机关内部科室间关于工作安排的沟通，若未涉及你的具体权益，且未对你产生实际影响，则不可申请复议。
已超出复议申请期限：
- 根据《中华人民共和国行政复议法》的规定，申请人应自知道或应当知道具体行政行为之日起60日内提出复议申请（法律规定的申请期限超过60日的除外）。
- 若因不可抗力或其他正当理由耽误法定申请期限的，申请期限可自障碍消除之日起继续计算。但超过上述期限且无正当理由的，复议机关可能不予受理。
三、实际操作建议
分析不答复行为的性质：
- 在决定是否申请行政复议前，应仔细分析行政机关不答复行为的性质和内容，确保其构成具体行政行为且侵犯了你的合法权益。
注意复议的申请期限和程序要求：
- 确保在法定期限内提交完整的申请材料，包括复议申请书、相关证据材料等。
- 遵循复议程序要求，如口头或书面申请、邮寄或当面递交等。
寻求专业法律帮助：
- 若对复议流程或相关法律问题存在疑问，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议。
综上所述，相关部门不答复时，是否可以申请行政复议需根据具体情况判断。若该不答复行为属于行政机关未履行法定职责且侵犯了你的合法权益，那么通常可以申请行政复议。在申请前，请务必分析不答复行为的性质、注意复议的申请期限和程序要求，并在必要时寻求专业法律帮助。