结论：签无固定期限劳动合同，并非必须由员工提出申请，但在特定条件下，员工有权提出申请，且用人单位应当依法签订。以下是对这一问题的详细分析：
一、无固定期限劳动合同的签订条件
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者在以下几种情况下，有权提出与用人单位签订无固定期限劳动合同：
连续工作满十年：
- 劳动者在同一用人单位连续工作满十年，即满足签订无固定期限劳动合同的条件。这是对劳动者长期服务的认可，也是对其职业稳定性的保障。
- 实例：如张三自2013年起在A公司连续工作至2023年，即满足此条件，可向A公司提出签订无固定期限劳动合同的申请。
连续订立二次固定期限合同且无解除情形：
- 劳动者与用人单位连续签订两次固定期限劳动合同后，若劳动者表现良好，无违反规定或不能胜任工作等情形，续订时应签订无固定期限劳动合同。
- 实例：王五与C公司连续签订两次固定期限劳动合同，且工作期间表现优异，无违规记录，第二次合同到期前，王五有权申请签订无固定期限劳动合同。
用人单位初次实行劳动合同制度或改制时的工作年限与退休年龄：
- 用人单位进行制度变革或企业改制时，对于已连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年的劳动者，应给予特别保护，以确保其能顺利过渡到退休。
- 实例：B公司作为国有企业，在改制过程中，员工李四已连续工作12年且距退休不足10年，因此李四符合申请签订无固定期限劳动合同的条件。
未签合同满一年：
- 用人单位自用工之日起满一年未与劳动者签订书面劳动合同的，法律视为双方已订立无固定期限劳动合同。这是对用人单位未及时履行签约义务的约束。
- 实例：赵六于2022年入职D公司，但D公司一直未与其签订劳动合同。至2023年，赵六可要求D公司补签无固定期限劳动合同。
二、员工是否必须提出申请
- 并非必须：虽然上述条件为员工提供了签订无固定期限劳动合同的权利，但并非意味着员工必须提出申请。员工可以根据自己的职业规划、家庭状况、对公司的认同感等因素，自主决定是否提出签订无固定期限劳动合同的申请。
- 用人单位的责任：在满足法定条件的情况下，如果员工未提出签订无固定期限劳动合同的申请，用人单位也应当主动与员工沟通，了解其意愿，并依法履行签约义务。如果用人单位未依法签订无固定期限劳动合同，员工有权要求用人单位支付双倍工资或采取其他法律措施维护自己的权益。
三、法律建议
- 了解自身权益：员工应充分了解自己的权益和签订无固定期限劳动合同的条件，以便在适当的时候提出申请。
- 与用人单位沟通：在决定是否提出签订无固定期限劳动合同的申请前，员工可以与用人单位进行沟通，了解公司的政策和态度，以便做出更明智的决策。
- 保留证据：如果员工决定提出申请，应保留好相关证据，如工作年限证明、劳动合同等，以便在需要时维护自己的权益。
作为专业律师，我建议你在面对类似问题时，务必根据自己的实际情况和法律法规的规定，做出明智的决策。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。