结论：终止解除劳动合同证明存根三联本身并不等同于完整的“解除劳动合同证明”，但它是解除劳动合同证明的一部分或副本，通常用于不同目的或由不同方留存。完整的解除劳动合同证明应包含所有必要信息，并由用人单位正式出具给劳动者。以下是对此问题的详细解释：
一、多联式证明的设计与用途
常规设计：
- 劳动合同解除证明通常采用多联复写形式，如三联单。这种设计是为了满足不同用途和留存需求。
- 第一联：通常存档于用人单位人事部门，用于内部记录和管理。
- 第二联：可能提交至劳动行政部门备案（具体根据地方规定），作为官方记录。
- 第三联：交予劳动者本人留存，作为其已解除劳动合同的证明，用于办理失业登记、申领失业保险金等手续。
存根三联的含义：
- “终止解除劳动合同证明存根三联”可能指的是用人单位保留的三联副本或存根，用于内部存档或备查。
- 这些存根本身并不直接作为给劳动者的正式证明，但它们是正式证明出具过程中的一部分，确保了证明的正式性和可追溯性。
二、劳动者应留存的联次
- 核心依据：根据《劳动合同法》第五十条，用人单位有义务向劳动者提供解除合同的书面证明。此证明是劳动者办理后续手续的必要材料。
- 操作建议：劳动者应确保获得并妥善保存解除劳动合同证明中明确标注供个人保存的联次（通常是第三联或明确标注“劳动者留存”的联次）。如果证明文件未明确标注联次用途，劳动者应主动要求用人单位在交付时注明，并加盖公章确认。
三、法律风险防范要点
拒收风险：
- 若用人单位拒绝提供任何联次的解除劳动合同证明，可能构成违法解除合同。劳动者有权通过劳动仲裁等途径主张自己的权益。
信息核对：
- 劳动者在收到证明后，应仔细核对姓名、身份证号、解除合同原因、日期等关键信息是否准确无误。如有错误或遗漏，应及时与用人单位沟通并更正。
补办流程：
- 若不慎遗失解除劳动合同证明，劳动者应立即联系原单位申请补发。部分地区允许通过社保系统打印电子版替代，但具体流程需根据地方规定执行。
四、实际案例与操作建议
- 案例：某劳动者在离职后，发现用人单位未提供解除劳动合同证明，导致无法办理失业登记。此时，劳动者可以依据《劳动合同法》第五十条和第八十九条的规定，向劳动行政部门投诉或申请劳动仲裁，要求用人单位出具证明并承担相应责任。
- 操作建议：劳动者在离职时，应主动要求用人单位出具完整的解除劳动合同证明，并确认证明中包含所有必要信息。同时，劳动者应妥善保存该证明，以备后续使用。
总结与建议：终止解除劳动合同证明存根三联是解除劳动合同证明出具过程中的一部分，但劳动者应确保获得并妥善保存明确标注供个人保存的联次。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。