结论：工伤后员工和公司私下签订补偿协议并履行，不申请工伤认定，该协议的效力及后续影响需分情况讨论。

1. 协议内容合法且双方自愿的情况

• 协议效力：如果双方签订的补偿协议内容合法，即不违反法律、行政法规的强制性规定，也不违背公序良俗，且双方是在平等、自愿的基础上签订的，那么该协议是有效的。这意味着，一旦协议签订并履行，双方都应受其约束，不得随意反悔或要求变更。
• 不申请工伤认定的影响：不申请工伤认定并不影响协议的效力，但可能影响员工后续享受工伤保险待遇的权利。因为工伤认定是享受工伤保险待遇的前提，如果未进行工伤认定，员工可能无法获得工伤保险基金支付的医疗费用、伤残津贴等待遇。然而，如果公司已经按照协议支付了足够的补偿，且该补偿涵盖了员工可能因工伤而遭受的所有损失，那么员工可能不再需要依赖工伤保险待遇。

2. 协议内容存在违法或显失公平的情况

• 协议效力：如果协议内容存在违法或显失公平的情况，如公司利用优势地位迫使员工接受不合理的补偿条件，或者协议中排除了员工的某些法定权利，那么该协议可能是无效的或可撤销的。在这种情况下，员工有权向法院或仲裁机构申请撤销或变更协议。
• 不申请工伤认定的风险：即使协议被撤销或变更，如果员工之前未申请工伤认定，仍然可能面临无法享受工伤保险待遇的风险。因为工伤认定的时效性是一个重要因素，超过一定期限（通常为一年）后，可能无法再进行工伤认定。因此，员工在签订协议前应谨慎考虑是否申请工伤认定，以确保自己的权益得到充分保障。

3. 特殊情况下的考虑

• 公司未履行协议：如果公司未按照协议支付补偿，员工有权要求公司履行协议或承担违约责任。同时，员工仍然可以申请工伤认定，并依据认定结果享受相应的工伤保险待遇。
• 员工后续发现工伤：如果员工在签订协议并履行后，才发现自己因工伤而遭受了未被协议涵盖的损失（如后续治疗费用、伤残等级提高等），员工有权要求公司补充赔偿或向法院提起诉讼。但同样需要注意的是，如果未进行工伤认定，可能影响员工主张权利的效果。

法律建议：

• 谨慎签订协议：员工在签订补偿协议前应充分了解自己的权益和可能遭受的损失，确保协议内容合法、合理且全面。
• 及时申请工伤认定：为了保障自己的权益，员工应在发生工伤后及时申请工伤认定，以便在需要时享受工伤保险待遇。
• 咨询专业律师：如果员工对协议内容或工伤认定程序有疑问或不确定的地方，应及时咨询专业律师以获取法律帮助。

可能后果：

• 如果协议合法有效且双方已履行完毕，则员工可能无法再主张额外的工伤保险待遇。
• 如果协议存在违法或显失公平的情况，员工有权要求撤销或变更协议，并可能因此获得额外的赔偿。
• 如果员工未及时申请工伤认定且超过时效期限，则可能无法再享受工伤保险待遇。