公司作为劳动仲裁的被申请人，在劳动仲裁驳回员工全部请求后，公司是可以向法院提出起诉的，但这种情况较为少见，且需满足特定条件。以下是对此问题的详细分析：
一、法律背景与原则
在劳动争议处理中，劳动仲裁是前置程序，即劳动争议发生后，当事人通常需要先向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁裁决不服的，才可以向人民法院提起诉讼。这一原则旨在通过仲裁这一相对快速、灵活的方式解决劳动争议，减轻法院的诉讼负担。
二、公司起诉的罕见性与条件
罕见性：在劳动仲裁中，员工通常是申请人，公司是被申请人。仲裁裁决驳回员工全部请求后，员工若不服裁决，更有可能向法院提起诉讼，以寻求进一步的法律救济。而公司作为被申请人，在仲裁裁决已经对其有利的情况下，通常没有动力再向法院提起诉讼。
起诉条件：尽管公司起诉的情况较为少见，但并非完全不可能。如果公司认为仲裁裁决存在错误，或者存在其他需要法院进行司法审查的情形（如仲裁程序违法、仲裁员受贿等），公司可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。但这种情况需要公司有充分的证据证明仲裁裁决存在错误或违法情形。
三、公司起诉的后果与考量
诉讼风险：公司提起诉讼后，将面临法院的司法审查。如果法院认为仲裁裁决并无错误或违法情形，将维持原裁决，公司可能需要承担诉讼费用等额外成本。
声誉影响：公司提起诉讼可能引发公众对其劳动关系的关注，对公司的声誉产生一定影响。因此，公司在决定是否提起诉讼时，需要综合考虑诉讼风险、声誉影响等因素。
四、建议与策略
评估仲裁裁决：公司在收到仲裁裁决书后，应仔细评估裁决内容，确定是否存在需要法院进行司法审查的情形。
咨询专业律师：如果公司认为仲裁裁决存在错误或违法情形，建议咨询专业律师，了解提起诉讼的可行性和风险，以便做出明智的决策。
考虑和解或调解：在提起诉讼前，公司也可以考虑与员工进行和解或调解，以达成双方都能接受的解决方案，避免进一步的法律纠纷。
总结来说，虽然劳动仲裁驳回员工全部请求后公司提起诉讼的情况较为少见，但并非完全不可能。公司在决定是否提起诉讼时，应综合考虑多种因素，包括诉讼风险、声誉影响等。如有需要，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议。