结论：公司辞退员工且不签合同的行为，一般是不合法的，可能涉及违法解除劳动合同以及未签订书面劳动合同的法律责任。以下从不同角度进行详细分析：
一、违法解除劳动合同的法律责任
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位解除劳动合同必须符合法定条件，并遵循法定程序。若用人单位无正当理由解除劳动合同，即构成违法解除。
法律后果：
- 若公司违法解除劳动合同，员工有权要求公司继续履行劳动合同，或者要求公司支付赔偿金。赔偿金的标准通常为经济补偿金的两倍，经济补偿金则根据员工在公司的工作年限和月工资水平来确定。
二、未签订书面劳动合同的法律责任
法律依据：
- 同样根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
法律后果：
- 若公司未与员工签订书面劳动合同，员工有权要求公司支付未签订劳动合同期间的双倍工资。这一请求通常受到一年仲裁时效的限制，即员工需在知道或应当知道其权利被侵害之日起一年内提出仲裁申请。
三、综合分析与建议
综合分析：
- 公司辞退员工且不签合同的行为，既可能构成违法解除劳动合同，也可能涉及未签订书面劳动合同的法律责任。这两种责任可能同时存在，也可能因具体情况而有所差异。
建议：
- 对于员工而言，若遭遇此类情况，应首先收集相关证据，如工作证、工资条、考勤记录等，以证明与公司的劳动关系以及公司的违法行为。
- 随后，员工可以向当地劳动仲裁机构提起仲裁申请，要求公司支付赔偿金或双倍工资等。若对仲裁结果不满，还可以向人民法院提起诉讼。
- 对于公司而言，应严格遵守相关法律法规，及时与员工签订书面劳动合同，并在解除劳动合同时遵循法定程序和条件，以避免不必要的法律风险和损失。
进一步思考：在实际操作中，公司辞退员工且不签合同的情况可能涉及多种复杂因素，如员工是否存在过错、公司是否面临经营困难等。因此，在处理此类纠纷时，应充分考虑各种因素，确保处理结果的公正性和合理性。若你有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。