公司不给员工签劳动合同是不合法的，这一行为违反了《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，并可能因此承担法律责任。以下从不同角度为你详细分析：
一、法律背景与规定
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条，建立劳动关系时，应当订立书面劳动合同。若已建立劳动关系但未同时订立书面劳动合同，应自用工之日起一个月内完成签订。这意味着，公司必须在员工入职后的一个月内与其签订书面劳动合同，否则即构成违法。
二、法律后果与责任
双倍工资支付：
- 如果公司自用工之日起超过一个月但不满一年未与员工签订书面劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，公司需向员工每月支付二倍的工资。例如，若员工月工资为5000元，公司从第二个月起持续6个月未签合同，则员工除正常工资外，还可额外要求公司支付30000元作为赔偿（6个月×5000元/月）。
无固定期限劳动合同的视为订立：
- 如果公司自用工之日起满一年仍未与员工签订书面劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条，则视为公司与员工已订立无固定期限劳动合同。此时，公司不仅需支付前述的双倍工资，还应立即补订书面合同。若违反此规定，自应订立无固定期限合同之日起，公司还需继续向员工每月支付两倍工资。
行政处罚：
- 劳动行政部门对未按规定签订劳动合同的公司有权责令改正，逾期不改的，可处以罚款。这是政府监管部门对公司遵守劳动法律法规的一种监督方式。
三、劳动者权益保护与救济途径
要求补偿与补签：
- 员工在发现公司未签订劳动合同时，有权要求公司支付双倍工资，并补签书面劳动合同。这是员工维护自身权益的首要步骤。
向劳动行政部门投诉：
- 如果公司拒绝履行上述义务，员工可以向当地的劳动行政部门投诉。劳动行政部门将介入调查，并责令公司改正其违法行为。
申请劳动仲裁或提起诉讼：
- 若协商和投诉均未能解决问题，且公司的违法行为给员工造成了实际损害，员工可以通过劳动仲裁或诉讼的方式进一步维权。在此过程中，员工需要提供充分的证据来证明自身遭受的损失，并要求公司承担相应的赔偿责任。
四、实际建议
- 保留证据：员工在维权过程中，应收集能证明与公司存在劳动关系的证据，如工资支付凭证、工作证、考勤记录、社保缴纳记录等。这些证据将有助于员工在劳动仲裁或诉讼中证明自己的权益。
- 及时行动：一旦发现公司未签订劳动合同，员工应尽快采取行动，要求公司支付双倍工资并补签合同。拖延时间可能会使员工失去维权的有利时机。
- 咨询专业律师：虽然我在这里为你提供了详细的法律分析，但在实际操作中，每个案件都有其独特性。因此，如果你在维权过程中遇到任何疑问或困难，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况为你提供专业的法律建议。
综上所述，公司不给员工签劳动合同是不合法的，并可能因此承担法律责任。员工应了解自己的权益，并在必要时采取适当的措施来维护自身的合法权益。