结论：劳务关系中员工上班看手机摔伤，老板是否有责任需分情况讨论。一审工伤被驳回，并不意味着老板一定无责任，还需结合具体案情和法律规定进一步分析。

分析如下：

1. 劳务关系与劳动关系的区别：

   • 劳务关系通常指的是平等主体之间，一方提供劳务，另一方支付报酬的关系，它不同于劳动关系。在劳动关系中，员工与用人单位之间存在更为紧密的管理与被管理关系，且受《劳动法》、《工伤保险条例》等专门法律的保护。
   • 在劳务关系中，如果员工因工作原因受到伤害，一般按照《民法典》中关于侵权责任的规定来处理，而非工伤保险制度。

2. 老板是否有责任：

   • 如果摔伤与工作直接相关：即使员工在看手机，但如果摔伤是发生在执行工作任务过程中，且看手机行为并未严重违反工作纪律或安全规定，老板可能仍需承担一定的赔偿责任。这主要基于《民法典》中关于雇主责任的规定，即雇主对雇员在执行工作任务过程中受到的损害，应承担相应的赔偿责任。但具体责任大小需根据双方过错程度、因果关系等因素综合判断。
   • 如果摔伤与工作无关：如果员工在看手机时摔伤，且该行为与工作无关，比如是在休息时间或非工作场所发生的，那么老板一般无需承担赔偿责任。但需注意，如果老板对工作场所的安全管理存在疏忽，导致员工在非工作时间也面临安全隐患，老板可能仍需承担一定的安全保障责任。

3. 一审工伤被驳回的影响：

   • 一审工伤被驳回，可能意味着法院认为该伤害不符合工伤保险的认定条件，或者证据不足以支持工伤认定。但这并不直接决定老板是否有责任，因为劳务关系中的赔偿责任与工伤保险是两个不同的法律体系。
   • 如果员工对一审判决不服，可以依法提起上诉，通过二审程序进一步维护自己的权益。在上诉过程中，可以重新梳理证据，明确摔伤与工作之间的关联性，以及老板在安全管理方面的责任。

建议：

• 对于员工而言，如果认为老板应承担赔偿责任，可以收集相关证据（如工作记录、现场照片、证人证言等），证明摔伤与工作之间的关联性，以及老板在安全管理方面的疏忽。然后，可以依法向法院提起诉讼，要求老板承担相应的赔偿责任。
• 对于老板而言，如果面临员工的赔偿请求，应积极应对，审查员工摔伤的具体情况，评估自己的责任大小。如果认为无需承担赔偿责任，可以准备相关证据进行抗辩；如果认为应承担一定责任，可以与员工协商赔偿事宜，或者通过法律途径解决纠纷。

后续行动：

• 如果你或对方对一审判决不服，可以依法提起上诉，并在上诉过程中充分准备证据和理由，以维护自己的合法权益。
• 如果你需要进一步的法律帮助或咨询，可以直接向我提问，我会根据你的具体情况提供专业的法律意见。