私立学校教师被辞退时的补偿问题，确实是一个涉及法律条款和具体情境的综合考量。以下是我为您详细梳理的解答：

首先，我们需要明确的是，私立学校教师被辞退时的补偿，主要取决于辞退的合法性、教师在校的工作年限以及月工资水平。这是根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定来确定的。

一、合法辞退的情况

1. 双方协商一致解除劳动合同：

   • 如果学校和教师双方经过协商，一致同意解除劳动合同，那么学校需要按照教师在本单位工作的年限来支付经济补偿金。具体来说，每满一年支付一个月工资的经济补偿金；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，则支付半个月工资的经济补偿金。

2. 劳动者存在过错：

   • 如果教师存在严重违反学校规章制度、严重失职、营私舞弊等过错行为，学校可以依法解除劳动合同，并且无需支付经济补偿金。

二、违法辞退的情况

如果学校的辞退行为被认定为违法，比如未进行离岗前职业健康检查、在诊断或医学观察期间被辞退，或者女职工在孕期、产期、哺乳期被辞退等，那么学校需要按照经济补偿金的两倍来支付赔偿金。具体来说，每满一年支付两个月工资的赔偿金；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付一个月工资的赔偿金。

三、无需支付补偿的情形

除了上述劳动者存在过错的情况外，如果教师试用期间不符合录用条件，或者双方协商一致解除且教师同意不支付补偿（但这种情况较为少见，因为通常协商一致解除时，学校会支付经济补偿金以体现公平），那么学校也无需支付补偿。

四、月工资的定义

月工资是指教师在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。这是计算经济补偿金和赔偿金的重要依据。

五、实际应用建议

教师在面对辞退问题时，应首先判断辞退的合法性。如果认为辞退违法，可以依据《劳动合同法》的相关规定，要求学校支付相应的赔偿金。同时，教师应保留好相关证据，如劳动合同、工资单、辞退通知书等，以便在必要时维护自己的合法权益。如果与学校协商无果，还可以考虑通过法律途径来解决争议。

综上所述，私立学校教师被辞退时的补偿情况需根据辞退的合法性、工作年限以及月工资水平综合确定。希望这些信息能够帮助您更好地了解自己的权益和法律规定，以便在面临此类问题时能够做出正确的应对。