结论：赡养协议母亲未签字，两儿子不能仅以此为由不执行一年一万的赡养费支付义务，母亲有父亲留下的资金也并不影响赡养义务的履行。以下从多个角度进行分析：

赡养协议的效力与签字问题

1. 赡养协议的性质：赡养协议是赡养人之间或者赡养人与被赡养人之间就赡养义务的履行所达成的协议。它通常涉及赡养费的支付、生活照料、精神慰藉等多个方面。

2. 签字的重要性：在一般的合同或协议中，签字是表示双方同意协议内容并愿意受其约束的重要方式。然而，在赡养协议中，如果母亲作为被赡养人未签字，这并不意味着协议完全无效。关键在于协议的内容是否反映了母亲的真实意愿，以及是否符合法律法规的规定。如果协议是在母亲知情且同意的情况下，由其他赡养人代为签署，或者母亲以其他方式（如口头同意、行为表示）表明了接受协议的意思，那么协议仍然可能具有法律效力。

3. 未签字不影响赡养义务：即使母亲未在赡养协议上签字，这并不影响儿子们作为赡养人应履行的法定义务。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，子女对父母有赡养扶助的义务。这种义务是法定的，不因协议的存在与否而改变。

母亲有父亲留下的资金与赡养义务

1. 资金性质：母亲拥有的父亲留下的资金，属于母亲的个人财产。这笔资金的使用和管理应由母亲自行决定，与儿子们的赡养义务无直接关联。

2. 赡养义务的独立性：赡养义务是子女对父母应尽的法定义务，它不依赖于父母的经济状况。即使母亲拥有足够的资金来维持生活，儿子们仍然需要履行赡养义务，包括支付赡养费、提供生活照料等。

儿子们不执行赡养费的法律后果

1. 民事责任：如果儿子们不履行赡养义务，母亲有权向法院提起诉讼，要求儿子们支付赡养费。法院在审理此类案件时，会综合考虑母亲的实际需要、儿子们的经济能力以及当地的生活水平等因素，来确定赡养费的数额和支付方式。

2. 社会舆论与道德谴责：不履行赡养义务不仅可能面临法律责任，还会受到社会舆论的谴责和道德的批判。这可能会对儿子们的声誉和人际关系产生负面影响。

建议

1. 与母亲沟通：儿子们应首先与母亲进行沟通，了解她的真实意愿和需求。如果母亲对赡养协议有异议或不愿意签署，儿子们应尊重她的选择，并协商制定一个双方都能接受的赡养方案。

2. 履行赡养义务：无论母亲是否签署赡养协议，儿子们都应履行赡养义务。这包括按时支付赡养费、提供必要的生活照料和精神慰藉等。

3. 寻求法律帮助：如果儿子们与母亲在赡养问题上存在争议或无法达成一致意见，可以寻求法律帮助。可以咨询专业律师或当地法律援助机构，了解相关法律法规和维权途径。

总之，赡养协议母亲未签字并不影响儿子们应履行的赡养义务。儿子们应尊重母亲的选择和意愿，履行法定的赡养义务，并寻求合法途径解决可能存在的争议。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。