当遇到名誉侵权案中对方不道歉的情况时，您可以采取以下详细且具有深度的步骤来维护自己的合法权益：
一、明确侵权事实并全面收集证据
确认侵权行为：
- 首先，您需要清晰地确认对方确实存在侵犯您名誉权的行为，这包括但不限于侮辱、诽谤、恶意传播不实信息等。
- 仔细分析侵权行为的具体内容、时间、地点以及涉及的范围，以便为后续的维权行动提供准确的信息。
全面收集证据：
- 证据是维权的关键。您需要收集所有能够证明对方侵权行为的证据，如聊天记录、邮件、短信、社交媒体截图、视频或音频记录等。
- 确保证据的完整性和真实性，避免在收集过程中出现遗漏或篡改。
- 如果可能，尽量获取第三方见证或公证，以增强证据的效力。
二、尝试与侵权方进行协商解决
直接沟通：
- 在确认侵权事实并收集好证据后，您可以尝试与侵权方进行直接沟通，明确表达您的诉求，即要求对方停止侵权行为并公开道歉。
- 在沟通过程中，保持冷静和理性，避免情绪化的言辞，以便更有效地解决问题。
书面通知：
- 如果直接沟通无果，您可以向侵权方发送书面通知，详细阐述侵权事实、您的诉求以及要求对方在一定期限内给予答复和解决方案。
- 书面通知应具有正式性和严肃性，以便让对方认识到问题的严重性。
三、寻求法律途径解决
向公安机关报案：
- 如果侵权行为严重，构成治安违法或犯罪，如恶意诽谤、侮辱他人等，您可以向公安机关报案。
- 公安机关会根据情节轻重对侵权人进行相应的处罚，如警告、罚款、行政拘留等；若构成犯罪，则依法追究刑事责任。
提起民事诉讼：
- 如果侵权行为未构成犯罪，但给您造成了名誉损害和经济损失，您可以向人民法院提起民事诉讼。
- 在诉讼过程中，您需要提供充分的证据证明侵权事实和损失情况，如名誉受损的程度、经济损失的具体数额等。
- 法院将根据具体情况判决侵权人承担相应的赔偿责任，包括停止侵害、恢复名誉、消除影响、赔礼道歉及赔偿损失等。
申请强制执行：
- 如果侵权人在法院判决后拒不履行赔偿义务或公开道歉的义务，您可以向法院申请强制执行。
- 法院有权采取多种执行措施，如查询、冻结、划拨被申请执行人的存款，扣留、提取被申请执行人的收入，查封、扣押、拍卖、变卖被申请执行人的财产等，以确保判决得到有效执行。
四、利用其他合法手段维权
向平台投诉：
- 如果侵权行为发生在网络平台，如社交媒体、论坛等，您可以向平台投诉并要求删除相关内容。
- 平台通常会根据用户协议和社区规则对侵权行为进行处理，以维护平台的秩序和用户的权益。
发布澄清声明：
- 在自己的社交媒体或其他渠道上发布澄清声明，说明事实真相，以减少误解和损害。
- 澄清声明应客观、真实、准确，避免使用情绪化的言辞或攻击性的语言。
综上所述，当遇到名誉侵权案中对方不道歉的情况时，您可以通过明确侵权事实并全面收集证据、尝试与侵权方进行协商解决、寻求法律途径解决以及利用其他合法手段维权等步骤来维护自己的合法权益。希望这些建议能够对您有所帮助。