结论：针对您描述的情况，您有权要求对方公司履行发货义务或退还已支付的款项。若对方公司拒绝履行，您可以通过法律途径来维护自己的合法权益。以下是对此问题的详细分析：
一、合同关系与义务
合同成立：您给对方公司公户打了款，且对方公司给您开了发票，这通常意味着双方之间已经建立了买卖合同关系。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，合同一旦成立，双方均应按照约定履行各自的义务。
对方义务：在买卖合同中，卖方（即对方公司）的主要义务是按照约定的时间、地点和方式交付货物。若对方公司未履行发货义务，则构成违约。
二、违约责任与救济
要求发货：您有权要求对方公司按照合同约定履行发货义务。若对方公司拒绝，您可以向其发出书面催告，要求其在合理期限内发货。
要求退款：若对方公司明确表示无法发货或拒绝发货，您有权要求其退还已支付的款项。对方公司提出通过私户退款但未实际履行，这并不影响您要求其通过公户或其他合法方式退款的权利。
法律救济：若对方公司既不发货也不退款，您可以考虑通过法律途径来维护自己的合法权益。具体来说，您可以向法院提起诉讼，要求对方公司承担违约责任，包括但不限于继续履行合同、赔偿损失等。
三、证据收集与诉讼准备
证据收集：在提起诉讼前，您需要收集并整理好相关证据，以证明双方之间存在买卖合同关系、您已支付款项、对方公司未发货等事实。这些证据可能包括转账记录、发票、聊天记录、催告函等。
诉讼准备：在收集好证据后，您可以咨询专业律师（即我本人，陈慧研律师，专注于刑事辩护、律师会见、取保候审、婚姻家庭、民间借贷、建设工程、合同纠纷领域），了解诉讼流程、准备诉讼材料，并考虑是否需要申请财产保全等措施来确保判决的执行。
四、注意事项
保持沟通：在处理此类纠纷时，建议您与对方公司保持沟通，并尽量通过书面方式记录沟通内容，以便在后续诉讼中作为证据使用。
及时行动：若对方公司长时间未履行发货义务或拒绝退款，建议您及时采取行动，以免超过诉讼时效而丧失胜诉权。
谨慎选择私户交易：未来在交易过程中，建议您谨慎选择通过私户进行交易，以避免类似纠纷的发生。公户交易更具有法律保障和透明度。
最后，针对您目前的情况，我建议您首先与对方公司进行沟通，要求其履行发货义务或退还已支付的款项。若沟通无果，您可以考虑通过法律途径来维护自己的合法权益。如有需要，您可以随时向我咨询相关法律问题。