针对您提到的“给客户发货但客户把钱打给供货商了，供货商不发货也不退钱”的问题，这确实是一个比较棘手的情况，但您可以通过以下系统且条理清晰的步骤来维护自己的合法权益：
一、核查合同与交易细节
仔细审查合同：首先，您需要详细查阅与供货商签订的合同，特别是关于发货、付款、退货、退款以及违约责任的相关条款。合同是双方交易的基础，也是后续维权的重要依据。
确认交易流程：回顾整个交易流程，确认客户是否按照合同约定的方式将款项支付给了供货商，以及供货商在收到款项后是否有明确的发货承诺或时间表。
二、尝试友好协商
直接沟通：尝试与供货商进行直接沟通，明确表达您的诉求，即要求供货商按照合同约定发货或退还已支付的款项。在沟通过程中，保持冷静和理性，提供必要的交易记录和证据。
寻求第三方协助：如果直接沟通无果，您可以考虑寻求行业协会、商会、消费者协会或市场监管部门等第三方的帮助进行调解。这些机构通常具备专业知识和公信力，有助于推动双方找到合理的解决方案。
三、采取法律手段
发送正式函件：在协商和调解均未能解决问题的情况下，您可以考虑向供货商发送一封正式的书面函件（如律师函），明确指出其拒绝发货或退款的行为违反了相关法律法规或合同约定，并要求其在规定期限内给予答复和解决。这一步骤不仅具有法律效力，还能为后续可能的法律诉讼保留证据。
提起诉讼：
四、保持冷静与理性
在整个过程中，保持冷静和理性至关重要。避免采取过激行为或发表不当言论，以免影响后续的维权工作。同时，确保所有沟通记录和证据材料的完整性和真实性，这将为最终解决问题提供有力支持。
综上所述，面对供货商不发货也不退钱的问题，您应首先依据合同条款寻求解决；若合同无明确规定或供货商不履行合同义务，则可通过协商沟通、第三方调解和法律手段逐步推进解决。希望这些建议能对您有所帮助。