产后抑郁的员工，公司一般不得随意解除劳动合同，但在特定情况下，如员工经培训或调岗后仍不能胜任工作，且遵循法定程序，公司可以解除劳动合同。以下是对此问题的详细分析：
一、法律对女职工的特殊保护
“三期”保护原则：
- 根据《中华人民共和国劳动法》及《女职工劳动保护特别规定》，女职工在孕期、产期、哺乳期（产后抑郁若处于哺乳期内，则同样适用）享有特殊保护。用人单位不得因女职工怀孕、生育、哺乳而降低其工资、予以辞退或与其解除劳动、聘用合同。
医疗期保障：
- 若产后抑郁被专业医疗机构诊断需要治疗，员工可依据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》享受3个月至24个月的医疗期。在此期间，用人单位同样不得辞退员工。
二、可以解除劳动合同的特定情况
- 不胜任工作且经调整仍无法改善：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条，如果员工因产后抑郁导致不能胜任工作，并且经过培训或者调整工作岗位后仍然无法胜任，公司可以提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付一个月工资后解除劳动合同。但此过程必须严格遵循法定程序，并依法支付经济补偿金。经济补偿金的标准按员工在本单位工作的年限确定，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。
三、违法辞退的后果
经济赔偿：
- 违反法律规定辞退产后抑郁员工的，公司将依照《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条的规定，按经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
行政处罚：
- 劳动行政部门可责令用人单位改正，并根据《劳动保障监察条例》等相关规定，对违反劳动保障法律、法规的用人单位进行罚款等行政处罚。
四、维权建议
- 如果遭遇违法解除劳动合同，员工应保留好所有相关证据（如医院诊断证明、劳动合同、工资单等），并通过劳动仲裁等方式维护自己的合法权益。在劳动仲裁过程中，员工可以要求用人单位继续履行劳动合同，或者要求用人单位支付违法解除劳动合同的赔偿金。
五、实际案例与注意事项
- 实际案例：在实际操作中，曾有公司因未充分考虑女职工在“三期”内的特殊保护，而违法解除了与产后抑郁员工的劳动合同，最终被劳动仲裁机构或法院判决支付赔偿金并恢复劳动关系。
- 注意事项：公司在处理产后抑郁员工的辞退问题时，必须严格遵守国家法律法规，确保员工的合法权益不受侵犯。同时，员工也应了解自己的法律权益，并在必要时采取合适的维权措施。
综上所述，公司在处理产后抑郁员工的辞退问题时，必须谨慎行事，确保遵循法定程序并充分考虑员工的特殊保护需求。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。