事业单位员工产后抑郁，单位一般不能随意辞退，但具体需根据员工的病情、医疗期情况、工作表现以及单位内部规定等多方面因素综合判断。以下从不同角度为你详细分析：

通常不会被辞退的情况

1. 在医疗期内

   • 根据相关法律法规，虽然《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》主要针对企业，但事业单位在实践中也常参考类似规定。员工因产后抑郁需要停止工作接受医疗时，根据其实际参加工作年限和在本单位工作年限，可享受三个月到二十四个月的医疗期。在此期间，单位不得随意解除与员工的人事关系。例如，小李在事业单位工作，产后患上抑郁，需要治疗休养，若她实际工作年限和在本单位工作年限符合规定，就能享受相应医疗期，单位在此期间不能辞退她。
   • 法律依据：《事业单位人事管理条例》及相关劳动法规规定，事业单位工作人员患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内，单位不得解除聘用合同。

2. 病情不影响工作

   • 若员工虽患有产后抑郁，但能正常履行工作职责，完成工作任务，且未对单位正常运转造成不良影响，则单位无合理理由将其开除。依据《中华人民共和国劳动法》《中华人民共和国劳动合同法》及事业单位相关人事管理规定，单位解除人事关系需有法定理由和依据，不能仅因员工患病而辞退。比如，小张产后有轻度抑郁，但工作表现和之前一样出色，单位就不能无故辞退她。
   • 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》规定，用人单位解除劳动合同需有法定理由，不能随意解除。

3. 处于“三期”保护阶段

   • 根据《中华人民共和国劳动法》及《女职工劳动保护特别规定》，女职工在孕期、产期、哺乳期（通常包括产后抑郁期若处于哺乳期内）享有特殊保护。用人单位不得因女职工怀孕、生育、哺乳而降低其工资、予以辞退或与其解除劳动、聘用合同。例如，小王产后抑郁且处于哺乳期，单位就不能以她患病为由辞退她。
   • 法律依据：《中华人民共和国劳动法》《女职工劳动保护特别规定》中对女职工“三期”的特殊保护规定。

可能被辞退的情况

1. 医疗期满无法胜任工作

   • 若员工在规定的医疗期满后，仍不能从事原工作，也不能从事由单位另行安排的工作，且单位已提前三十日以书面形式通知员工本人或额外支付一个月工资，此时单位可以解除人事关系。但单位需提供充分证据证明员工确实无法胜任工作。比如，小赵产后抑郁医疗期满后，无法从事原来的财务工作，单位给她安排了简单的资料整理工作，她还是无法胜任，单位提前三十日书面通知她后，可以解除聘用合同。
   • 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第四十条规定，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的，用人单位提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同。

2. 严重违反单位规章制度

   • 如果员工因产后抑郁出现严重违反单位规章制度的行为，如经常无故旷工、严重影响工作秩序等，且单位的规章制度已经过合法程序制定并公示，那么单位有权依据规章制度解除与该员工的人事关系。例如，小陈产后抑郁后，经常无故不来上班，也不请假，严重影响了单位的工作秩序，单位依据合法有效的规章制度可以辞退她。
   • 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条规定，劳动者严重违反用人单位的规章制度的，用人单位可以解除劳动合同。

综合建议

对于事业单位员工而言，若不幸患上产后抑郁，应首先了解自身权益，积极与单位沟通，争取合理的医疗期和必要的支持。比如，主动向单位说明自己的病情和治疗计划，申请医疗期。同时，单位也应秉持人文关怀，对员工给予适当的理解和帮助，如提供心理咨询、调整工作岗位等措施，以促进员工康复并维持单位的正常运转。在具体操作中，若遇到相关问题，可以直接向我咨询，我会为你提供更准确的信息和建议。