结论：在敲诈勒索罪公安不立案，检察院立案监督申请驳回的情况下，一般不可以直接刑事自诉，但存在例外情况。以下是对此问题的详细分析：
一、一般情况下的刑事自诉限制
刑事自诉的范围：
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关司法解释，刑事自诉主要适用于告诉才处理的案件（如侮辱、诽谤案，暴力干涉婚姻自由案等）、被害人有证据证明的轻微刑事案件，以及被害人有证据证明对被告人侵犯自己人身、财产权利的行为应当依法追究刑事责任，而公安机关或者人民检察院不予追究被告人刑事责任的案件（但这类案件通常指的是已经经过公安机关或检察院审查，但因证据不足等原因不予立案或起诉的，且往往与特定的罪名和情节相关，并非所有案件都适用）。
敲诈勒索罪的自诉限制：
- 敲诈勒索罪通常不属于告诉才处理的案件，也不属于被害人有证据证明的轻微刑事案件。因此，在一般情况下，被害人不能直接就敲诈勒索罪向法院提起刑事自诉。
二、例外情况下的刑事自诉可能性
特定情形下的自诉权：
- 如果被害人有证据证明对被告人侵犯自己人身、财产权利的行为应当依法追究刑事责任，而公安机关或者人民检察院不予追究被告人刑事责任的，被害人可以向人民法院提起自诉。但这一规定在敲诈勒索罪中的适用需要严格满足条件，即被害人必须有充分证据证明犯罪事实存在，且公安机关或检察院确实存在不予追究的情形。
实践中的操作难度：
- 在实践中，由于敲诈勒索罪通常涉及较为复杂的证据收集和事实认定，被害人往往难以独自承担举证责任。因此，即使被害人认为符合自诉条件，也往往因证据不足而难以成功提起自诉。
三、建议与后续行动
进一步收集证据：
- 如果被害人认为公安机关或检察院的决定有误，可以进一步收集证据，以证明犯罪事实的存在和被告人的刑事责任。这可能包括寻找目击证人、收集物证、书证等。
申请复议或申诉：
- 被害人可以向作出不立案决定的公安机关申请复议，或者向上一级公安机关申诉。同时，也可以向作出驳回立案监督申请决定的检察院申请复议或申诉。
考虑其他法律途径：
- 如果刑事自诉确实不可行，被害人可以考虑通过民事诉讼途径来维护自己的权益，如提起侵权之诉，要求被告人赔偿因敲诈勒索行为造成的损失。
总结与启示：在敲诈勒索罪公安不立案，检察院立案监督申请驳回的情况下，被害人一般不能直接提起刑事自诉。但被害人可以通过进一步收集证据、申请复议或申诉等方式来维护自己的权益。如果刑事自诉确实不可行，也可以考虑通过其他法律途径来解决问题。如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。