遇到政府部门推卸责任的情况，你可以采取以下措施来维护自己的合法权益：
明确责任主体与法律依据：
- 首先，你需要明确是哪个政府部门在推卸责任，以及该部门应当承担的具体职责。这通常可以通过查阅相关法律法规、政府公告或政策文件来确认。
- 例如，如果你申请的是某项行政许可，而相关部门以各种理由拒绝办理或拖延办理，你可以查阅《行政许可法》等相关规定，了解该部门的法定职责和办理时限。
收集证据材料：
- 在与政府部门沟通的过程中，务必保留好所有相关的证据材料，如申请书、回复函、通话记录、邮件往来等。
- 这些证据材料将是你后续维权的重要依据，能够证明你与政府部门之间的交互过程以及政府部门的具体行为。
尝试内部申诉或复议：
- 许多政府部门都设有内部申诉或复议机制，用于处理公民、法人或其他组织对政府部门行为的异议。
- 你可以按照该部门的申诉或复议流程，提交相关证据材料，要求部门重新审查其决定或行为。
寻求外部监督与救济：
- 如果内部申诉或复议未能解决问题，你可以考虑向该部门的上级机关、监察机关或信访部门反映情况，寻求外部监督。
- 同时，你也可以根据具体情况，选择向人民法院提起行政诉讼，要求法院对政府部门的行政行为进行合法性审查。在提起行政诉讼前，建议先咨询专业律师，了解诉讼风险和可能的结果。
利用媒体与公众监督：
- 在某些情况下，通过媒体曝光或利用社交媒体等平台发声，也可能促使政府部门重视并解决问题。
- 但需要注意的是，这种方式应当谨慎使用，确保所发布的信息真实、准确，避免侵犯他人权益或引发不必要的法律纠纷。
法律背景与建议：
- 根据《中华人民共和国政府信息公开条例》等相关规定，政府部门有义务依法公开政府信息，并保障公民、法人或其他组织依法获取政府信息的权利。如果政府部门推卸责任、拒绝公开或拖延公开政府信息，可能构成违法行为。
- 在维权过程中，建议你保持冷静、理性，避免采取过激行为。同时，务必注意保护自己的合法权益，避免在维权过程中受到不必要的损失。
可能的法律后果：
- 如果政府部门的行为被认定为违法，可能会面临被责令改正、被撤销或变更行政行为、被赔偿损失等法律后果。
- 对于个人而言，如果维权成功，可能会获得相应的赔偿或补偿；如果维权失败，也需要承担相应的诉讼费用等成本。因此，在决定维权前，务必充分评估风险与收益。
最后，如果你在处理此类问题时遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询。作为专业律师，我将根据你的具体情况，为你提供全面、准确的法律建议。