结论：公司直接发邮件通知合同到期终止劳动合同，且不签订无固定期限劳动合同，这一行为是否合法，需根据具体情况来判断。以下从不同角度进行分析：
一、合同到期终止的合法性
合同到期自然终止：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满的，劳动合同终止。因此，如果劳动合同中明确约定了合同期限，且合同到期，公司有权选择不续签劳动合同，此时终止劳动合同是合法的。
终止程序的合法性：
- 公司应当按照法定程序通知员工合同到期终止。虽然法律并未明确规定必须采用书面形式通知，但为了确保通知的有效性和避免纠纷，公司通常采用书面形式（如邮件）通知员工。只要邮件内容明确、具体，且能够证明员工已收到该通知，即可视为合法通知。
二、不签订无固定期限劳动合同的合法性
无固定期限劳动合同的签订条件：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条，无固定期限劳动合同的签订通常需要满足一定条件，如劳动者在该用人单位连续工作满十年、用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年等。
- 如果员工不符合上述条件，公司有权选择不签订无固定期限劳动合同。
公司拒绝签订无固定期限劳动合同的合法性：
- 即使员工符合签订无固定期限劳动合同的条件，公司也有权在合同到期时选择不续签，包括不签订无固定期限劳动合同。但此时，公司应当按照法律规定向员工支付经济补偿。
- 如果公司未支付经济补偿或存在其他违法行为（如强迫员工签订不公平的合同条款等），则可能构成违法终止劳动合同。
三、特殊情况下的合法性判断
员工提出续签无固定期限劳动合同：
- 如果员工符合签订无固定期限劳动合同的条件，并在合同到期前向公司提出了续签无固定期限劳动合同的请求，而公司拒绝续签且未支付经济补偿的，则可能构成违法终止劳动合同。
公司存在违法行为：
- 如果公司在终止劳动合同过程中存在违法行为（如未提前通知、未支付经济补偿、强迫员工签订不公平的合同条款等），则员工有权向劳动仲裁机构申请仲裁或向法院提起诉讼，要求公司承担相应的法律责任。
四、建议与注意事项
对于员工：
- 在合同到期前，了解自己的权益和签订无固定期限劳动合同的条件。
- 如果希望续签无固定期限劳动合同，应提前向公司提出请求，并保留好相关证据。
- 如遇公司违法终止劳动合同的情况，及时向劳动仲裁机构申请仲裁或向法院提起诉讼。
对于公司：
- 在终止劳动合同时，应确保程序合法、合规，避免违法行为的发生。
- 如需不续签劳动合同或拒绝签订无固定期限劳动合同，应按照法律规定向员工支付经济补偿。
- 保留好相关证据和文件，以备不时之需。
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