针对您提出的“事业单位到期未续签怎么办”的问题，以下是我为您提供的详细解答：

首先，我们需要明确的是，事业单位与员工之间的聘用关系是通过聘用合同来确立的。当聘用合同到期时，如果双方没有续签，但员工仍在原单位继续工作，那么根据相关法律法规，我们可以从以下几个方面来分析：

一、劳动关系的认定

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。即使聘用合同到期未续签，但只要员工仍在原单位工作，且用人单位没有提出异议，那么双方之间的劳动关系仍然存在。不过，为了保障双方的权益，建议尽快补签书面聘用合同。

二、未续签的处理方式

1. 双方协商续签：

   • 如果事业单位和员工都愿意继续合作，那么双方可以协商续签聘用合同。在续签时，应明确合同期限、工作内容、薪酬待遇等关键条款。

2. 事业单位不续签：

   • 如果事业单位决定不续签聘用合同，那么根据《国务院办公厅转发人事部〈关于在事业单位试行人员聘用制度意见〉的通知》的规定，事业单位应当向员工支付经济补偿。经济补偿的标准通常是员工在该聘用单位每工作1年，支付其本人1个月的上年月平均工资。如果月平均工资高于当地月平均工资3倍以上的，按当地月平均工资的3倍计算。

3. 员工不续签：

   • 如果员工决定不续签聘用合同，那么通常不需要支付经济补偿。但员工应提前告知事业单位，以便事业单位做好人员安排。

三、未续签但继续工作的法律后果

• 如果聘用合同到期未续签，但员工仍在原单位继续工作，且用人单位未提出异议，那么根据《劳动合同法实施条例》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付两倍的工资，并与劳动者补订书面劳动合同。
• 如果用人单位自用工之日起满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，则视为自用工之日起满一年的当日已经与劳动者订立无固定期限劳动合同，并应当立即与劳动者补订书面劳动合同。

四、建议与行动

• 对于员工来说，如果聘用合同到期未续签但仍在原单位工作，建议尽快与事业单位沟通，明确双方的合作意向和合同续签事宜。
• 对于事业单位来说，应加强对聘用合同的管理，及时与员工续签或终止合同，以避免不必要的法律风险和经济损失。

综上所述，事业单位到期未续签聘用合同时，双方应积极沟通协商，明确合作意向和合同续签事宜。如果无法达成一致，应按照相关法律法规的规定处理经济补偿和劳动关系问题。希望以上解答能对您有所帮助。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时咨询。