当遇到未签订劳动合同的员工离职问题时，无论是从用人单位还是员工的角度出发，都需要依据相关法律法规来妥善处理，以确保双方的权益得到保障。以下是对这一问题的详细解答：
用人单位角度
确认事实劳动关系：
- 即便没有签订书面劳动合同，只要员工为公司提供了劳动并接受了管理，同时公司也支付了劳动报酬，那么双方之间就存在事实劳动关系。
- 用人单位应积极收集考勤记录、工资支付凭证、工作证以及同事证言等证据，以证明员工的工作情况和离职时间。
工资结算与赔偿责任：
- 用人单位需按照法律规定和薪酬制度，及时且足额地结算员工的工资，这包括正常工资和可能的加班工资。
- 如果用人单位自用工之日起超过一个月但不满一年未与员工签订书面劳动合同，根据《劳动合同法》的规定，需要向员工每月支付二倍的工资作为赔偿。
- 在员工离职时，用人单位应一次性付清所有工资，避免拖欠。
办理离职手续：
- 为员工开具离职证明，明确劳动合同期限（如有）、解除或终止日期、工作岗位以及工作年限等信息。
- 用人单位应借此机会反思并改进人力资源管理制度，特别是加强劳动合同的签订和管理，以防止类似情况再次发生。
应对争议：
- 如果与员工就离职事宜产生争议，用人单位应积极与员工沟通协商，寻求和解。
- 若协商不成，用人单位应准备相关证据材料，配合劳动仲裁委员会或法院的调查和处理。
员工角度
与用人单位协商：
- 员工应首先尝试与用人单位进行友好协商，要求结算工资、办理离职手续等。
- 在协商过程中，员工应保留聊天记录、邮件等沟通记录作为证据，以备不时之需。
收集证据：
- 如果用人单位存在违法行为，如拖欠工资或拒绝支付双倍工资，员工应收集能证明事实劳动关系的证据，如工资支付凭证、工作证、招工招聘记录、考勤记录以及其他劳动者的证言等。
主张权益：
- 根据《劳动合同法》的规定，员工有权要求用人单位自入职第二个月起支付双倍工资，但这一要求最长不超过十一个月。
- 如果用人单位存在未及时足额支付劳动报酬或未依法缴纳社会保险费等情形，员工有权解除劳动关系并要求经济补偿。
- 若协商无果，员工可在一年内向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，以维护自己的合法权益。
增强法律意识：
- 员工应增强自身的法律意识，了解自己的权益和法律责任。
- 在入职时，员工应主动要求与用人单位签订劳动合同，以避免后续可能出现的纠纷。
总结与建议
无论是用人单位还是员工，在处理未签订劳动合同的离职问题时，都应严格遵守法律法规，通过合法、合理的方式解决争议。用人单位应加强劳动合同管理，确保及时与员工签订合同；员工则应增强法律意识，主动要求签订合同并保留相关证据。如遇争议，双方应首先尝试协商解决；若协商不成，可寻求法律援助或向相关部门投诉。通过这样的方式，我们可以共同维护和谐的劳动关系，确保双方的权益得到充分保障。