结论：劳动争议一裁终局后起诉了，在起诉未改变原裁决效力且对方未履行的情况下，不能直接申请执行原仲裁裁决；若起诉后获得新的生效判决，则可依据新判决申请执行。以下分情况详细说明：
一、一裁终局裁决的生效条件
根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第四十七条，一裁终局的裁决自作出之日起生效，但需满足两个条件：
- 案件类型符合一裁终局范围：包括追索劳动报酬、工伤医疗费、经济补偿或赔偿金（不超过当地月最低工资标准十二个月金额）的争议，以及因执行国家劳动标准在工作时间、休息休假、社会保险等方面发生的争议。
- 用人单位未在法定期限内起诉：若用人单位对裁决不服，需在收到裁决书后15日内向中级人民法院申请撤销裁决（《劳动争议调解仲裁法》第四十九条）。若未申请撤销或申请被驳回，裁决生效。
关键点：若用人单位已起诉，原仲裁裁决不生效，需等待法院判决结果。
二、起诉后能否直接申请执行原裁决？
若用人单位起诉且法院受理：
- 原仲裁裁决不生效，双方需等待法院判决。
- 若法院判决支持劳动者诉求，劳动者可依据生效判决书申请执行（《民事诉讼法》第二百四十三条）。
- 不能直接申请执行原仲裁裁决，需以新判决为执行依据。
若劳动者起诉（虽一裁终局通常限制用人单位起诉，但劳动者可起诉）：
- 劳动者起诉后，原仲裁裁决不生效，需等待法院判决。
- 若法院维持或改判原裁决内容，劳动者可依据生效判决书申请执行。
三、申请执行的正确流程（以法院判决生效后为例）
准备材料：
- 生效的法院判决书原件及复印件。
- 申请执行书（写明双方信息、请求事项、事实与理由）。
- 身份证明（个人身份证/企业营业执照）。
- 被执行人财产线索（如银行账户、房产信息等，便于法院执行）。
提交申请：
- 向被执行人住所地或被执行财产所在地的基层法院立案庭提交材料。
- 法院审查材料后，符合要求的予以受理，并出具受理通知书。
法院执行措施：
- 查询、冻结、划拨被执行人存款。
- 查封、扣押、拍卖被执行人财产。
- 限制高消费、纳入失信名单等。
执行终结：
- 被执行人履行义务或达成和解协议后，法院终结执行程序。
四、注意事项
- 时效要求：申请执行期限为两年，自判决书规定的履行期限届满之日起计算（《民事诉讼法》第二百四十六条）。
- 财产保全：若担心被执行人转移财产，可在诉讼阶段或执行前申请财产保全（《民事诉讼法》第一百零三条）。
- 异议处理：被执行人对判决有异议的，可通过申请再审或提出执行异议程序救济（《民事诉讼法》第二百三十二条）。
五、示例说明
案例：某劳动者因工伤赔偿申请仲裁，裁决支持其诉求。用人单位不服，在15日内向法院起诉。法院审理后维持原裁决，判决用人单位支付赔偿金。判决生效后，用人单位拒不履行，劳动者可持判决书、申请书等材料向用人单位所在地法院申请执行。法院受理后，依法冻结用人单位账户资金并划拨至劳动者账户。
总结：一裁终局后起诉的，需以法院生效判决为执行依据，不能直接申请执行原仲裁裁决。劳动者应及时关注诉讼进展，并在判决生效后依法申请执行，维护自身权益。如有疑问，可直接向我咨询。