针对您的情况，首先明确结论：您有权要求单位继续履行劳动合同或支付违法解除劳动合同的赔偿金，同时您还可以申请工伤认定并要求单位支付工伤赔偿。 以下是具体分析：
一、关于劳动合同与辞退问题
未签劳动合同不影响劳动关系：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，即使未签订书面劳动合同，只要您与单位之间存在事实劳动关系（如您实际为单位提供了劳动，单位也接受了您的劳动并支付了报酬），您与单位之间就形成了劳动关系。
单位违法辞退您：
- 如果单位在您受伤治疗期间或之后无正当理由辞退您，这很可能构成违法解除劳动合同。根据《劳动合同法》第四十八条，您有权要求单位继续履行劳动合同，或者要求单位支付违法解除劳动合同的赔偿金（通常为经济补偿金的两倍）。
二、关于工伤认定与赔偿问题
申请工伤认定：
- 您应尽快向当地的社会保险行政部门（通常是人力资源和社会保障局）申请工伤认定。根据《工伤保险条例》第十七条，职工发生事故伤害或者按照职业病防治法规定被诊断、鉴定为职业病，所在单位应当自事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。遇有特殊情况，经报社会保险行政部门同意，申请时限可以适当延长。用人单位未按前款规定提出工伤认定申请的，工伤职工或者其近亲属、工会组织在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，可以直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
工伤赔偿：
- 一旦被认定为工伤，您就有权享受工伤保险待遇，包括医疗费、康复费、护理费、停工留薪期工资、一次性伤残补助金等。如果单位未为您缴纳工伤保险费，根据《工伤保险条例》第六十二条，这些费用应由单位承担。
三、具体行动建议
收集证据：
- 收集能够证明您与单位之间存在事实劳动关系的证据，如工资条、工作证、考勤记录、同事证言等。
- 收集能够证明您受伤情况的证据，如医疗记录、诊断证明、事故现场照片等。
与单位协商：
- 在收集到足够证据后，您可以尝试与单位进行协商，要求单位继续履行劳动合同或支付赔偿金，并申请工伤认定和支付工伤赔偿。
申请劳动仲裁或提起诉讼：
- 如果协商无果，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求单位支付违法解除劳动合同的赔偿金和工伤赔偿。
- 如果对劳动仲裁结果不满，您还可以向人民法院提起诉讼。
最后，我建议您尽快行动起来，收集证据并寻求法律帮助。 如果您在处理过程中遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议和帮助。