结论前置：您在餐厅上班半个月后被老板突然解雇，是可以向劳动局（现一般称为劳动保障监察部门或人力资源和社会保障局）投诉的，同时您也有权申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。

详细分析如下：

1. 关于向劳动局投诉：

   • 法律依据：根据《劳动保障监察条例》的相关规定，劳动保障行政部门对用人单位遵守劳动保障法律、法规和规章的情况进行监察，对违反劳动保障法律、法规或者规章的行为，有权进行调查、处理。您的情况属于用人单位可能存在的违法解除劳动合同行为，劳动保障监察部门有权介入调查。
   • 投诉流程：您可以直接前往当地的劳动保障监察部门（或人力资源和社会保障局）进行投诉，提交相关证据（如工作证、工资条、与老板的沟通记录等）以证明您与餐厅存在劳动关系以及被解雇的事实。劳动保障监察部门会依法进行调查，并根据调查结果作出相应处理。

2. 关于申请劳动仲裁：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》的规定，因确认劳动关系、订立、履行、变更、解除和终止劳动合同等发生的争议，属于劳动争议仲裁的受案范围。您与餐厅之间的解雇争议正属于此类。
   • 仲裁流程：
     • 提交申请：您需要向当地的劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请书，并附上相关证据材料。
     • 受理审查：仲裁委员会会对您的申请进行审查，符合受理条件的会予以受理，并通知双方当事人。
     • 开庭审理：仲裁委员会会安排开庭审理，双方当事人需要出庭陈述事实、提供证据、进行辩论。
     • 裁决：仲裁委员会会根据审理情况作出裁决，裁决结果具有法律效力。
   • 可能的结果：如果仲裁委员会认定餐厅违法解除劳动合同，可能会裁决餐厅支付您违法解除劳动合同的赔偿金（一般为经济补偿金的两倍，经济补偿金按您在餐厅的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准计算，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资的经济补偿），以及未支付的工资等。

3. 其他建议：

   • 保留证据：在处理此类纠纷时，保留好与工作相关的所有证据是非常重要的，包括工作证、工资条、与老板的沟通记录、工作照片或视频等。
   • 咨询专业律师：虽然我已经为您提供了一些基本的法律建议，但劳动纠纷的处理往往涉及复杂的法律程序和证据规则，因此建议您在必要时咨询专业律师，以获得更具体、更专业的法律帮助。不过，既然您已经向我咨询，我会尽力为您提供全面的法律支持。

后续行动建议：

• 您可以先尝试与餐厅老板进行协商，看是否能够达成和解协议，避免不必要的法律纠纷。
• 如果协商无果，您可以按照上述流程向劳动保障监察部门投诉或向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
• 在整个过程中，保持冷静和理性，依法维护自己的合法权益。

如果您在处理过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。