结论：不能直接辞退，需根据具体情况处理，否则可能面临违法解除劳动合同的法律风险。以下从不同角度详细分析：

一、未签合同不影响事实劳动关系的存在

根据《劳动合同法》及相关规定，即使未签订书面劳动合同，只要存在实际用工行为，即构成事实劳动关系。您亲戚在您家干活十年，显然已形成事实劳动关系。因此，不能以未签合同为由直接辞退。

二、因病不能工作，辞退需谨慎

1. 医疗期内的保护：

   • 若亲戚处于法定医疗期内（根据工作年限和病情确定，一般3-24个月），您不得解除劳动合同，否则构成违法解除，需支付赔偿金（2倍经济补偿金）。
   • 经济补偿金计算：按工作年限，每满1年支付1个月工资。例如，工作10年，经济补偿金为10个月工资；违法解除赔偿金则为20个月工资。

2. 医疗期满后的处理：

   • 若医疗期满后，亲戚仍不能从事原工作，也不能从事您另行安排的工作，您可以提前30日以书面形式通知或额外支付1个月工资后解除劳动合同，但需支付经济补偿金（10个月工资）。
   • 若医疗期满后，亲戚能从事适当工作，您不得解除劳动合同。

三、建议处理步骤

1. 核实医疗期：

   • 根据亲戚的病情和工作年限，确定其法定医疗期。例如，工作10年，医疗期可能为9-12个月（具体根据地方规定）。

2. 沟通协商：

   • 与亲戚沟通，了解其病情和恢复情况，协商是否继续工作或调整岗位。
   • 若亲戚同意解除劳动合同，可签订书面协议，明确补偿金额和支付方式。

3. 依法解除（如需）：

   • 若医疗期满且亲戚无法继续工作，依法履行解除程序（提前通知或支付代通知金），并支付经济补偿金。

4. 避免违法解除：

   • 切勿直接辞退或口头通知解除，否则可能面临劳动仲裁和赔偿风险。

四、其他注意事项

1. 未签合同的双倍工资风险：

   • 虽然亲戚已工作十年，但若您从未签订书面劳动合同，理论上可能面临支付11个月双倍工资的风险（但实践中，超过1年未签合同，可能视为已订立无固定期限劳动合同，风险降低）。

2. 社保缴纳问题：

   • 若未为亲戚缴纳社保，可能面临补缴和罚款风险。建议尽快补缴，以降低法律风险。

总结：辞退因病不能工作的亲戚需谨慎，需根据医疗期、工作能力等因素依法处理。建议先沟通协商，必要时咨询专业律师（即我）制定具体方案，避免法律风险。如有进一步问题，可直接向我咨询。