结论：公职人员单纯出轨，对方老公折磨威胁妻子自杀，单位不一定会开除该公职人员，且单位通常不负直接法律责任，但出轨行为可能引发单位内部的纪律处分，同时威胁者可能面临刑事责任。以下是对此问题的详细分析：
一、关于单位是否会开除公职人员
出轨行为本身：
- 出轨行为，即婚外情，虽然违背了社会道德和婚姻忠诚原则，但并不直接构成违法或犯罪行为。因此，从法律层面讲，单纯的出轨行为并不足以成为单位开除公职人员的直接依据。
单位纪律与规定：
- 然而，公职人员作为国家机关或公共机构的员工，通常受到更为严格的纪律约束。如果出轨行为严重违反了单位的规章制度或职业道德规范，单位可能会根据内部规定对其进行纪律处分，包括警告、记过、降级、撤职等，甚至在极端情况下可能考虑开除。但这一决定需要基于单位的具体规定和出轨行为的严重程度来综合判断。
开除的法定条件：
- 根据《中华人民共和国公职人员政务处分法》等相关法律法规，公职人员被开除通常需要满足更为严格的条件，如严重违法违纪、贪污受贿、滥用职权等。单纯的出轨行为，除非伴随有其他违法违纪行为，否则一般不构成开除的法定理由。
二、关于单位是否负法律责任
单位责任的一般原则：
- 单位对其员工的行为通常不承担直接法律责任，除非员工的行为是在执行单位职务过程中发生的，且单位存在过错或疏忽。在出轨行为中，由于这是员工的个人行为，与单位职务无关，因此单位通常不负直接法律责任。
威胁行为的法律责任：
- 如果对方老公对妻子进行折磨和威胁，导致妻子自杀或产生其他严重后果，这一行为可能构成犯罪，如故意杀人罪、故意伤害罪或虐待罪等。此时，法律责任应由威胁者个人承担，与出轨的公职人员及其单位无关。
单位的间接责任：
- 在某些特殊情况下，如果单位明知员工存在严重违法违纪行为而未采取适当措施进行制止或处理，可能会因疏忽管理而承担一定的间接责任。但在出轨行为中，这种间接责任的可能性相对较低，除非单位存在明显的过错或疏忽。
三、建议与提醒
对于出轨的公职人员：
- 应认识到出轨行为的严重性和可能带来的后果，包括家庭破裂、社会舆论压力以及单位纪律处分等。建议尽快与配偶沟通，寻求妥善解决方式，并遵守单位规章制度和职业道德规范。
对于受到威胁的妻子：
- 应立即向公安机关报案，寻求法律保护。同时，可以寻求心理咨询或家庭支持，以应对可能的心理创伤和家庭问题。
对于单位：
- 应加强对员工的职业道德教育和纪律管理，建立健全的规章制度和投诉处理机制。在发现员工存在违法违纪行为时，应及时采取措施进行制止和处理，以维护单位的形象和声誉。
如有任何婚姻家庭方面的法律问题，可以直接向我咨询。