在父亲去世而母亲仍然健在的情况下，关于如何继承父亲名下的存款，这是一个涉及法律程序和家庭关系的重要问题。以下是我为您整理的一份详尽且条理清晰的解答：
一、明确遗产范围与性质
首先，需要确定父亲名下的存款是否属于遗产。根据法律规定，父亲在其去世后留下的存款，即成为遗产，需要依据法律进行分配。同时，要判断这些存款的性质：
夫妻共同财产：如果存款是在父亲和母亲婚姻关系存续期间积累的，那么这些存款一般属于夫妻共同财产。在这种情况下，存款的一半自然归母亲所有，另一半则作为父亲的遗产进行分配。
个人财产：如果存款是父亲婚前个人所有，或者有明确约定为父亲个人所有的，那么这些存款将全部作为父亲的遗产进行分配。
二、确定继承方式
接下来，需要确定继承方式。这主要取决于父亲是否留下了遗嘱或遗赠扶养协议：
遗嘱继承：如果父亲生前立有合法有效的遗嘱，并且明确安排了存款的继承，那么应当严格遵循遗嘱执行。这意味着，如果遗嘱中指定了母亲或某个子女为继承人，那么存款将按照遗嘱的指示进行分配。
法定继承：如果父亲没有留下遗嘱或遗赠扶养协议，那么将按照法定继承顺序进行分配。
三、法定继承顺序与份额
在法定继承的情况下，需要明确继承顺序和份额：
继承顺序：根据法律规定，第一顺序继承人包括配偶（母亲）、子女、父母（如果仍在世）。在第一顺序继承人存在的情况下，第二顺序继承人（兄弟姐妹、祖父母、外祖父母）不参与继承。
继承份额：同一顺序继承人原则上应当均等分配遗产。但是，在特殊情况下，如某个继承人生生活困难、缺乏劳动能力，或者对被继承人尽了主要扶养义务的，可以适当多分遗产。相反，如果某个继承人有扶养能力和条件但不尽扶养义务的，应当不分或少分遗产。
四、办理继承手续
确定了继承方式和份额后，接下来需要办理继承手续：
准备证明材料：包括父亲的死亡证明（由公安机关出具）、亲属关系证明（由单位、居委会或村委会出具）等。
继承公证：前往公证处办理继承公证，确认继承人身份及遗产范围。这是办理银行手续的重要前提。
银行手续：凭继承公证书、身份证等材料到银行办理存款支取或转移手续。部分银行对小额存款可能有简化流程，具体可以咨询相关银行。
五、特殊情况处理
在继承过程中，可能会遇到一些特殊情况，如继承人之间对存款继承存在争议等。在这种情况下，首先应当尝试协商或调解解决。如果无法协商一致，可以通过向人民法院提起诉讼来解决争议。法院将依法判决，确保继承的合法性与公正性。
综上所述，父亲去世后存款的继承是一个涉及多个法律环节和家庭关系的问题。通过明确遗产范围与性质、确定继承方式、了解法定继承顺序与份额、办理继承手续以及处理特殊情况等步骤，可以确保继承过程的顺利进行。希望这份解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。