在刑事诉讼中，当羁押期限届满时，我们需根据案件的具体情况和法律规定，来依法对犯罪嫌疑人或被告人作出恰当处理。以下是对此问题的详细解答：
一、释放被羁押人
如果羁押期满后，案件尚未办结，但已无合法依据继续羁押犯罪嫌疑人或被告人，或者经过侦查、审查起诉或审判后认为其不构成犯罪或不应被追究刑事责任，那么应当立即释放被羁押人，并发放释放证明。这是保障公民人身自由权利的重要体现。
二、变更为其他强制措施
取保候审：若案件仍需继续查证或审理，但犯罪嫌疑人或被告人没有必要继续被羁押，我们可以决定对其取保候审。取保候审要求犯罪嫌疑人、被告人提出保证人或者交纳保证金，以确保他们能够随传随到。
监视居住：在同样的情况下，我们也可以对犯罪嫌疑人或被告人采取监视居住措施。监视居住会限令其在规定的期限内不得离开住处或指定的居所，并对其行为加以监视，以限制其人身自由。
三、依法延长羁押期限
在某些特殊情况下，如案情复杂、证据难以收集等，且符合法律规定的延长条件，我们可以依法延长羁押期限。但延长羁押的决定必须严格遵循法律程序，并确保延长羁押是必要的。例如，逮捕后的侦查羁押期限一般不得超过二个月，但在特定情况下，可以经上一级人民检察院批准延长一个月，甚至对于特定类型的重大复杂案件，还可经省级人民检察院批准再延长二个月。
四、申请国家赔偿
如果羁押期限满了后，相关机关未依法处理，导致犯罪嫌疑人、被告人被超期羁押，那么他们有权根据《中华人民共和国国家赔偿法》的规定申请国家赔偿。这是为被超期羁押的犯罪嫌疑人、被告人提供的救济途径。
五、撤销案件或终止侦查
如果经过侦查，公安机关认为被羁押的人不构成犯罪或者不需要追究刑事责任，那么可以依法撤销案件或者终止侦查。在这种情况下，羁押期限到期后，被羁押的人应当被立即释放。
六、超期羁押的处理
超期羁押是违反法律规定的，应依法予以纠正。犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或辩护人有权要求解除超期羁押的强制措施。
七、羁押期限与刑期的折抵
根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，羁押的期限可以与刑期进行折抵。具体来说，管制的刑期，羁押一日折抵刑期二日；拘役和有期徒刑的刑期，羁押一日折抵刑期一日。
综上所述，羁押期限届满后的处理方式应综合考虑案件的具体情况、法律规定以及保障人权的原则。我们会确保每一项处理决定都合法、合理且必要，以保障司法公正和公民的合法权益。