当遇到羁押时间超期的情况时，被羁押人及其法定代理人、近亲属或辩护人等有权采取一系列措施来维护合法权益。以下是对此问题的详细解答：

一、明确超期羁押的定义与情形

超期羁押是指依法被刑事拘留、逮捕的犯罪嫌疑人、被告人，在侦查、审查起诉、审判阶段的羁押时间超过了刑事诉讼法规定的羁押时限。这包括拘留期限超期、侦查羁押期限超期、审查起诉阶段超期羁押以及审判阶段超期羁押等多种情形。每种情形都有具体的法律规定和时限要求，一旦超出即构成超期羁押。

二、采取应对措施

1. 申请变更强制措施：

   • 被羁押人或其辩护人可以依据《刑事诉讼法》的相关规定，向办案机关（如公安机关、人民检察院或人民法院）申请取保候审、监视居住等非羁押性强制措施。
   • 申请时需提交书面材料，详细说明超期羁押的事实及理由，并提供相关证据支持，如羁押通知书、律师会见记录等。

2. 提出申诉或控告：

   • 若办案机关未予答复或拒绝变更强制措施，被羁押人或其辩护人有权向同级人民检察院提出申诉或控告。
   • 人民检察院将依法进行监督，要求办案机关说明超期羁押的理由，并视情况作出纠正决定。若对处理结果不服，还可以向上一级人民检察院进一步申诉。

3. 寻求法律援助：

   • 被羁押人或其家属可联系律师或法律援助机构，获取专业法律帮助。
   • 律师可协助分析案情，准备申请材料，并代表被羁押人与办案机关沟通协商，争取合法权益。

4. 利用国家赔偿制度：

   • 若最终确认存在超期羁押且导致人身自由损害，被羁押人有权依据《国家赔偿法》申请国家赔偿。
   • 需通过司法程序确认违法事实后，向责任机关提出赔偿请求，赔偿方式可能包括支付赔偿金、恢复名誉、赔礼道歉等。

三、注意事项

1. 及时行动：发现超期羁押后应尽快采取行动，避免延误维权时机。因为法律程序往往有时间限制，错过时机可能会影响维权效果。

2. 保留证据：妥善保存与案件相关的所有文件资料，包括拘留通知书、逮捕决定书、律师会见记录、申诉材料等。这些证据在后续维权过程中将起到关键作用。

3. 合法维权：全程遵循法律程序，避免采取过激行为影响案件处理。维权过程中应保持冷静和理性，通过合法途径表达诉求。

4. 及时咨询专业律师：由于法律程序复杂且涉及专业知识较多，建议及时咨询专业律师以获取更准确的法律意见和帮助。律师能够提供专业的法律分析和建议，为维权过程提供有力支持。

总之，面对超期羁押的情况，被羁押人及其法定代理人、近亲属或辩护人应积极采取措施维护合法权益，同时遵循法律程序，保持冷静和理性。