结论：员工给公司造成名誉损失，公司是否可以解除劳动关系以及员工是否需要赔偿经济损失，需根据具体情况来判断。
一、关于公司是否可以解除劳动关系
依据劳动合同或规章制度：
- 如果劳动合同中明确约定了员工造成公司名誉损失时，公司有权解除劳动合同，或者公司的规章制度中有相关规定，并且这些规定已经向员工公示或告知，那么公司可以依据这些约定或规定解除劳动关系。
依据《劳动合同法》的相关规定：
- 根据《劳动合同法》第三十九条，员工严重违反用人单位的规章制度的，或者严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的，用人单位可以解除劳动合同。如果员工的行为符合这些情形，并且公司能够证明其造成了重大损害，那么公司有权解除劳动关系。
解除程序的合法性：
- 即使公司有权解除劳动关系，也必须遵循法定的解除程序，如提前通知员工、听取员工的申辩等。如果公司未遵循法定程序，可能构成违法解除，需要承担相应的法律责任。
二、关于员工是否需要赔偿经济损失
依据劳动合同或规章制度：
- 如果劳动合同或规章制度中明确规定了员工造成公司名誉损失时需要赔偿经济损失，并且这些规定不违反法律法规的强制性规定，那么员工可能需要按照约定或规定进行赔偿。
依据《侵权责任法》的相关规定（现应参照《民法典》侵权责任编）：
- 如果员工的行为构成侵权，即故意或过失地损害了公司的名誉权，并且造成了经济损失，那么公司有权要求员工承担侵权责任，包括赔偿经济损失。但需要注意的是，赔偿的范围应限于实际损失，并且员工能够证明的损失金额。
赔偿金额的确定：
- 赔偿金额通常需要根据实际损失来确定，包括直接损失和间接损失。直接损失如公司为恢复名誉而支出的费用，间接损失如因名誉受损而导致的业务减少等。但赔偿金额不应超过员工在造成损失时的过错程度所应承担的责任范围。
三、特殊情况与建议
- 员工行为是否构成犯罪：如果员工的行为涉嫌犯罪，如诽谤罪等，那么公司不仅可以解除劳动关系，还可以向公安机关报案，追究员工的刑事责任。
- 协商与调解：在发生争议时，建议公司与员工首先进行协商或调解，以达成和解协议，避免不必要的法律纠纷。
- 法律程序：如果协商或调解无果，公司或员工可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼。
四、总结与提醒
- 公司在处理员工造成名誉损失的问题时，应首先审查劳动合同和规章制度中的相关规定，确保解除劳动关系的合法性和赔偿经济损失的合理性。
- 员工在面临此类问题时，应了解自己的权利和义务，积极与公司进行沟通协商，必要时寻求法律帮助。
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