结论前置：公司不与您签订劳动合同是不可以的，这种行为违反了我国《劳动合同法》的相关规定，您有权要求公司签订劳动合同，并可以依法维护自己的合法权益。
详细分析：
法律规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条：“建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。”这意味着，公司必须在您入职后一个月内与您签订书面劳动合同。
不签订劳动合同的后果：
- 如果公司未在规定时间内与您签订劳动合同，根据《劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”因此，您有权要求公司支付未签订劳动合同期间的双倍工资。
- 此外，不签订劳动合同还可能影响您的其他权益，如社会保险缴纳、工伤赔偿等。在发生劳动争议时，由于缺乏书面合同作为证据，您的维权过程可能会更加困难。
您的权益维护：
- 与公司协商：首先，您可以尝试与公司进行协商，要求公司尽快与您签订劳动合同，并补缴社会保险等。
- 向劳动监察部门投诉：如果协商无果，您可以向当地的劳动监察部门投诉，请求他们介入调查并处理公司的违法行为。
- 申请劳动仲裁：如果劳动监察部门的处理未能满足您的需求，您还可以向劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求公司承担相应的法律责任。
特殊情况考虑：
- 如果您已经超过了法定退休年龄（如男性60周岁），那么您与公司之间可能不再构成劳动关系，而是劳务关系。在这种情况下，公司可能不需要与您签订劳动合同，但双方仍然可以签订劳务合同来明确各自的权利和义务。不过，根据您的描述，您目前52岁，并未达到法定退休年龄，因此这一特殊情况并不适用。
建议：
- 鉴于公司未与您签订劳动合同的行为已经违反了法律规定，我建议您尽快与公司进行沟通，要求公司签订劳动合同并补缴社会保险。
- 如果公司拒绝配合，您可以考虑向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。
- 在整个过程中，请务必保留好相关证据，如工作证、工资条、考勤记录等，以便在需要时证明您与公司之间的劳动关系以及公司的违法行为。
最后，如果您在处理过程中遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议和帮助。