结论：在公司工作5个月后被开除，是否有赔偿取决于开除的原因和程序是否合法。以下分情况详细说明：
公司违法解除劳动合同：
- 法律背景：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位违法解除劳动合同的，应当向劳动者支付赔偿金。赔偿金的标准是经济补偿标准的二倍。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 具体计算：由于您在公司工作了5个月，属于不满六个月的情形，因此经济补偿为半个月工资。赔偿金则为经济补偿的二倍，即一个月工资。
- 建议：如果您认为公司是违法解除劳动合同，可以收集相关证据（如解除劳动合同的通知、工资单、工作证等），向劳动仲裁机构申请仲裁，要求公司支付赔偿金。
公司合法解除劳动合同：
- 法律背景：如果公司因您存在严重违反公司规章制度、严重失职、营私舞弊给公司造成重大损害等情形而合法解除劳动合同，则无需支付赔偿金。但公司需要证明解除劳动合同的合法性，如提供相关证据证明您存在上述情形。
- 建议：如果您认为公司解除劳动合同的行为合法，且没有争议，那么您可能无法获得赔偿金。但如果您对公司解除劳动合同的合法性有异议，可以咨询专业律师或向劳动仲裁机构申请仲裁，以维护自己的合法权益。
公司未提前通知解除劳动合同：
- 法律背景：如果公司未提前三十日以书面形式通知劳动者本人而解除劳动合同，且不属于违法解除的情形，那么公司可能需要支付代通知金。但这一规定主要适用于《劳动合同法》第四十条规定的情形，如劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作等。
- 具体分析：在您的情况下，如果公司未提前通知解除劳动合同，但并非因为上述特定情形，那么可能不涉及代通知金的问题。不过，如果公司确实存在未提前通知的行为，且这一行为给您造成了损失，您可以考虑与公司协商或寻求法律途径解决。
- 建议：如果您认为公司未提前通知解除劳动合同给您造成了损失，可以收集相关证据，与公司协商赔偿事宜。如果协商不成，可以向劳动仲裁机构申请仲裁。
进一步思考：在处理此类劳动纠纷时，证据的收集至关重要。您需要尽可能收集与公司解除劳动合同相关的证据，如解除劳动合同的通知、工资单、工作证、考勤记录等。这些证据将有助于您证明自己的主张，并在劳动仲裁或诉讼中占据有利地位。如果您对劳动仲裁流程或相关法律法规不熟悉，建议咨询专业律师以获取更详细的指导和帮助。