若鉴定结论被对方申请重新鉴定并推翻，您可以通过以下途径主张权利：

1. 审查重新鉴定程序合法性
   首先需核查重新鉴定的启动是否符合法定条件。根据《民事诉讼法》第81条及《司法鉴定程序通则》第31条，重新鉴定需满足以下情形之一：

   • 原鉴定机构或鉴定人不具备资质；
     
   • 原鉴定程序严重违法（如未依法回避、未封存检材）；
     
   • 原鉴定意见明显依据不足（如鉴定方法错误、结论与事实矛盾）；
     
   • 其他足以影响鉴定公正性的情形。
     若重新鉴定程序存在违法，您可向法院申请排除该鉴定意见，并要求恢复原鉴定效力。例如，若对方未在举证期限内提出重新鉴定申请，或未提供足以反驳原鉴定的证据，法院可能不予准许。

2. 主张原鉴定意见的证明力
   即使重新鉴定结论被采纳，您仍可主张原鉴定意见的合理性：

   • 对比鉴定依据：要求法院组织双方对两次鉴定的检材、方法、标准进行质证。若原鉴定采用更权威的方法（如国家标准优于行业标准），或重新鉴定存在疏漏（如未对关键检材检测），可削弱新鉴定结论的证明力。
     
   • 申请专家辅助人：根据《民事诉讼法》第82条，您可聘请相关领域专家出庭，对鉴定意见的科学性、合理性进行说明，辅助法官形成心证。
     
   • 提交反驳证据：如原鉴定机构出具书面说明，或第三方机构出具对比分析报告，证明原鉴定结论更符合客观事实。

3. 申请第三次鉴定（极端情形）
   若两次鉴定结论矛盾且均存在瑕疵，您可依据《最高人民法院关于民事诉讼证据的若干规定》第40条，向法院申请第三次鉴定。但需满足严格条件：

   • 两次鉴定均存在程序违法或实质性错误；
     
   • 案件事实认定必须依赖专业鉴定；
     
   • 提交足以推翻前两次鉴定的新证据或理由。
     法院对第三次鉴定申请审查极为谨慎，需充分论证必要性。

4. 通过其他证据补强或替代
   若鉴定结论成为争议核心，您可转向收集其他类型证据：

   • 书证：如合同、票据、记录等直接证明案件事实；
     
   • 证人证言：相关人员对关键事实的陈述；
     
   • 视听资料：监控录像、录音等客观记录；
     
   • 勘验笔录：法院或第三方机构对现场、物品的勘查记录。
     通过多类型证据形成完整证据链，可降低对鉴定意见的依赖。

行动建议：

1. 立即委托律师分析两次鉴定报告，找出程序或实体瑕疵；
   
2. 整理原鉴定相关证据（如检材交接单、鉴定人资质证明）；
   
3. 在法庭辩论阶段，重点攻击重新鉴定的合法性、科学性；
   
4. 若需专家辅助人，提前联系权威机构专家并准备出庭材料。
   

关键点：鉴定结论被推翻不意味着您必然败诉，核心在于通过程序抗辩、证据对比和专家论证，说服法院采纳对您有利的证据或结论。具体策略需结合案件类型（如医疗纠纷、建设工程、知识产权等）进一步细化，您可补充案件背景后进一步咨询。