结论：公司员工上班总是迟到，但公司制度未让其签字，是否可以开除需分情况讨论。一般情况下，不能仅凭此直接开除员工，但若迟到行为严重违反公司规章制度且规章制度合法有效，同时公司能证明已将规章制度告知员工，则可能可以开除。
分析如下：
规章制度的有效性：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关规定，公司规章制度要成为处理员工的依据，必须满足内容合法、经民主程序制定、已向劳动者公示或告知等条件。
- 若公司制度未让员工签字，但公司能通过其他方式（如培训、公告、邮件等）证明员工已知晓该制度，且制度内容合法、程序正当，则该制度对员工具有约束力。
迟到行为的严重性：
- 迟到行为是否构成“严重违反公司规章制度”，需根据具体制度内容、迟到频率、时长及对公司的影响等因素综合判断。
- 若迟到行为频繁且严重影响公司正常运营或违反了制度中明确规定的“严重违纪”情形，公司有权依据制度进行相应处理，包括开除。
开除的合法性：
- 若公司欲开除迟到员工，必须确保规章制度合法有效，且员工的行为确实构成了严重违反规章制度。
- 同时，公司需按照法定程序进行，如提前通知工会（如有）、出具解除劳动合同通知书等，并确保解除理由充分、证据确凿。
未签字的法律后果：
- 员工未在规章制度上签字，并不直接导致规章制度无效或公司无法开除员工。关键在于公司能否证明员工已知晓并同意遵守该制度。
- 若公司无法证明员工已知晓制度，则可能面临违法解除劳动合同的风险，需支付赔偿金。
建议：
- 完善规章制度：公司应确保规章制度内容合法、程序正当，并通过适当方式向员工公示或告知，最好要求员工签字确认。
- 收集证据：对于迟到等违纪行为，公司应及时收集证据，如考勤记录、监控录像、员工自认等，以证明员工的行为及严重程度。
- 依法处理：在处理违纪员工时，公司应严格按照法定程序进行，确保解除理由充分、证据确凿，避免违法解除的风险。
- 咨询专业律师：若公司对规章制度的有效性、违纪行为的处理或解除劳动合同的程序存在疑问，建议咨询专业律师以获取法律意见。
可能后果：
- 若公司违法解除劳动合同，员工有权要求公司支付赔偿金，赔偿金标准为经济补偿标准的二倍。
- 若公司规章制度合法有效且员工行为构成严重违反规章制度，公司有权依法解除劳动合同且无需支付赔偿金。
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