人事代理在符合一定条件下，是可以和医院申请签订无固定期限劳动合同的。以下从多个角度进行分析：
一、法律依据
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，无固定期限劳动合同的签订主要基于以下几种情形：
- 协商一致：用人单位与劳动者协商一致，可以订立无固定期限劳动合同。这意味着，只要人事代理与医院双方达成一致，就可以签订无固定期限劳动合同。
- 法定情形：有下列情形之一，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同：
- 劳动者在该用人单位连续工作满十年的；
- 用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年的；
- 连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的。
二、人事代理的特殊情况
人事代理作为一种特殊的用工形式，其本质仍然是劳动关系。因此，只要人事代理与医院之间建立了劳动关系，并且符合上述无固定期限劳动合同的签订条件，人事代理就有权申请签订无固定期限劳动合同。
三、实际操作建议
- 了解自身情况：人事代理应首先了解自己的工作年限、合同签订情况等，以判断自己是否符合签订无固定期限劳动合同的条件。
- 与医院沟通：在符合条件的情况下，人事代理应主动与医院沟通，表达自己希望签订无固定期限劳动合同的意愿。
- 保留证据：在沟通过程中，人事代理应保留好相关证据，如工作记录、合同文本等，以备不时之需。
- 寻求法律帮助：如果医院拒绝签订无固定期限劳动合同，人事代理可以寻求法律帮助，通过法律途径维护自己的合法权益。
四、可能遇到的法律后果
如果人事代理符合签订无固定期限劳动合同的条件，但医院拒绝签订，人事代理有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求医院签订无固定期限劳动合同或支付相应的经济补偿。
综上所述，人事代理在符合一定条件下是可以和医院申请签订无固定期限劳动合同的。如果你在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。