关于保留参公身份签合同后按管理岗晋升是否算事业身份的问题，结论需要分情况讨论，具体如下：

1. 参公身份与事业身份的本质区别

   • 参公身份（参照公务员法管理的事业单位工作人员身份）与事业身份（事业单位工作人员身份）在编制性质、管理方式、薪酬体系等方面存在本质差异。参公人员虽在事业单位工作，但适用《公务员法》管理，享受公务员待遇；事业身份人员则适用《事业单位人事管理条例》管理，待遇与岗位等级挂钩。
   • 关键点：身份转换需以编制调整或政策明确规定为前提，仅因岗位晋升（如管理岗）不会自动改变身份属性。

2. 合同签订对身份的影响

   • 若您保留参公身份签订合同，合同内容通常为岗位聘用协议，而非身份转换协议。此时，合同仅明确您在管理岗的职责、薪酬等，不涉及身份变更。
   • 例外情形：若合同中明确约定“晋升管理岗后身份转为事业编制”，且该约定符合当地政策（如事业单位改革文件），则可能构成身份转换的依据。但此类条款需经编制部门审批，实践中极为罕见。

3. 管理岗晋升与身份的关系

   • 管理岗是事业单位岗位分类之一（如管理九级至一级），晋升仅代表岗位等级提升，与身份无关。参公人员即使晋升至管理岗高级别（如管理五级），仍保持参公身份，除非通过正式调任程序转入行政编制或事业编制。
   • 政策依据：根据《事业单位岗位设置管理试行办法》，岗位晋升不改变人员编制性质，身份转换需通过调任、公开招聘等法定程序。

4. 实务中的常见情况

   • 情况一：若您所在单位为参公事业单位，且未进行编制改革，则无论晋升至何种管理岗，身份始终为参公，不因岗位变动而改变。
   • 情况二：若单位已纳入事业单位改革范围，且政策允许参公人员通过考核转为事业编制，则需满足以下条件：
     • 单位编制空缺；
     • 个人通过事业编制考试或考核；
     • 编制部门正式批复。
   • 情况三：若您通过调任程序进入其他事业单位或行政机关，且目标单位为事业编制，则身份可能转为事业，但需经组织人事部门审批。

建议与风险提示：

• 核实单位性质与政策：首先确认您所在单位是否为参公事业单位，并查阅当地关于参公人员身份转换的具体政策（如省级人社部门文件）。
• 审查合同条款：仔细阅读合同中关于身份、岗位、晋升的约定，避免模糊表述导致权益受损。
• 咨询编制部门：若涉及身份转换，建议向单位人事部门或当地编办咨询，确认是否符合调任或转编条件。
• 保留证据：若单位承诺晋升后转换身份，务必要求出具书面文件，避免口头承诺无法兑现。

总结：保留参公身份签合同后按管理岗晋升，通常不会自动转为事业身份。身份转换需以编制调整或政策明确规定为前提，建议结合单位性质、合同条款及当地政策综合判断，必要时咨询专业律师或编制部门。